描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
统计学基础：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2练习题
1.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：39, 31, 52, 27, 29。
n = 5
s =
2.描述统计困难
某量服从正态分布，平均数为 170，标准差为 10。数值低于 150 的比例 P 是多少？
μ = 170σ = 10x = 150
P =
3.概率中等
一颗均匀骰子掷 7 次。至少掷出一次六点的概率 P 是多少？
n = 7
P =
4.概率困难
一份测试有 5 道选择题。一名靠猜的学生每题答对的概率为 0.25，相互独立。恰好答对 3 题的概率 P 是多少？
n = 5p = 0.25k = 3
P =
5.正态分布中等
电池寿命服从正态分布，均值为 500 h，标准差为 40 h。介于 490 和 532 h 之间的比例是多少？P 以小数表示。
μ = 500σ = 40x1 = 490x2 = 532
P =
6.正态分布困难
电池寿命 服从正态分布，均值为 500 h，标准差为 40 h。拖动截断值，使阴影的后 10% 位于其左侧。求截断值 x。
μ = 500 hσ = 40 h10%
x = h
7.置信区间中等
测量 7 名患者治疗前后的血压。差值 d = 治疗前 − 治疗后 (mmHg) 的均值为 −2.3，标准差为 2.8。 求平均差值的 99% 置信区间的下限。
n = 7d̄ = −2.3sd = 2.899%t(6) = 3.707
下限 = mmHg
8.置信区间困难
一项预研究表明，约有 0.8 的产品有缺陷。 必须检验多少件产品 n，才能使比例的 99% 置信区间的误差范围不超过 0.05？
p ≈ 0.8E = 0.0599%
n =
9.假设检验与置信区间中等
64 名学生的样本平均分为 48.31，样本标准差为 15。求 H₀: μ = 50 的检验统计量 t。
μ₀ = 50x̄ = 48.31s = 15n = 64
t =
10.假设检验与置信区间困难
在 α = 0.05 下，用容量为 36 的样本对 H₀: μ = 200 与 H₁: μ > 200 进行单侧 z 检验；已知标准差为 12。实际上均值为 205.2。 求该检验的功效 1 − β，以百分比表示。
μ₀ = 200μ = 205.2σ = 12n = 36α = 0.05
1 − β = %
11.线性回归与相关中等
表中给出 5 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。 求最小二乘直线的决定系数 r²。
n = 5
r² =
12.线性回归与相关困难
表中给出 5 对观测值 x = 学习小时数 和 y = 考试成绩。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 x 取何值 x 时，直线预测 ŷ = 88？
n = 5ŷ = 88
x =
3溶液
1.描述统计
答案: s = 10.24
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 178/5 = 35.6
离差平方
Σ(x − x̄)² = 3.4² + (−4.6)² + 16.4² + (−8.6)² + (−6.6)² = 419.2
标准差
s = √(419.2/4) = 10.24
答案
s = 10.24
2.描述统计
答案: P = 0.02275
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = −2
标准正态分布表
Φ(−2) = 0.02275
P = 0.02275
答案
P = 0.02275
3.概率
答案: P = 0.7209
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
补事件
P(没有六点) = (5/6)7 = 0.2791
P = 1 − 0.2791 = 0.7209
答案
P = 0.7209
4.概率
答案: P = 0.08789
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
二项分布公式
P(X = 3) = 10·0.253·0.752 = 10·0.01563·0.5625 = 0.08789
答案
P = 0.08789
5.正态分布
答案: P = 0.3869
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
z 分数
z₁ = (490 − 500)/40 = −0.25
z₂ = (532 − 500)/40 = 0.8
中间面积
P = Φ(0.8) − Φ(−0.25) = 0.7881 − 0.4013 = 0.3869
答案
P = 0.3869
6.正态分布
答案: x = 449 h
由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。
左侧的面积
Φ(z) = 0.1
由表得到的 z
z ≈ −1.28
回到原来的单位
x = 500 − 1.28·40 = 449 h
答案
x = 449 h
7.置信区间
答案: 下限 = −6.223 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
临界值
df = 6, t = 3.707
误差范围
E = 3.707·2.8/√7 = 3.923
区间
−2.3 ± 3.923 → [−6.223, 1.623]
答案
下限 = −6.223 mmHg
8.置信区间
答案: n = 425
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.
解出 n
n = 2.576²·0.8·0.2/0.05² = 424.7
向上取整
n = 425
答案
n = 425
9.假设检验与置信区间
答案: t = −0.9013
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
标准误
SE = 15/√64 = 15/8 = 1.875
检验统计量
t = (48.31 − 50)/1.875 = −0.9013
答案
t = −0.9013
t0.025; df = 63 = 1.998
|t| < 1.998，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。
10.假设检验与置信区间
答案: 1 − β = 83.02 %
检验功效：功效 = 1 − β，是 H₀ 为假时拒绝 H₀ 的概率。由 μ₀ 和 z_α 求出临界值 x̄c，再用真实均值计算落在 x̄c 以外的概率：z = (x̄c − μ)/(σ/√n)。
临界样本均值
SE = 12/√36 = 2
x̄c = 200 + 1.645·2 = 203.3
真实均值下的 z
z = (203.3 − 205.2)/2 = −0.955
功率
功效 = P(Z > −0.955) = 83.02%
1 − β = 83.02%
答案
1 − β = 83.02%
11.线性回归与相关
答案: r² = 0.9727
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 49/5 = 9.8
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 62
Syy = Σ(y − ȳ)² = 98.8
决定系数
r² = 62²/(40·98.8) = 0.9727
答案
r² = 0.9727
y 的变异中约有 97.27% 可由该直线解释。
12.线性回归与相关
答案: x = 9
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 362/5 = 72.4
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 208
回归直线
b = 208/40 = 5.2
a = 72.4 − 5.2·6 = 41.2
ŷ = 41.2 + 5.2·x
解出 x
x = (88 − 41.2)/5.2 = 9
答案
x = 9
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