统计学基础：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

置信区间

σ 已知: x̄ ± z·σ/√n
σ 未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量: n = (z·σ/E)², rounded up

方法

在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
求该置信水平下的临界值。
误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
均值的 t 检验: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧: 若 |z| > 1.96 则拒绝 H₀
置信区间: x̄ ± z·σ/√n

方法

写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
与临界值比较，或求出 p 值。
若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

线性回归与相关

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
斜率: b = S_xy/S_xx
截距: a = ȳ − b·x̄
相关系数: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

2练习题

1.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：47, 48, 21, 21, 47, 59, 36。

n = 7

s =

2.描述统计困难

考试成绩服从正态分布，平均数为 60，标准差为 10。求成绩 50 的 z 分数 z。

μ = 60σ = 10x = 50

z =

3.概率中等

对图中的分布，求 X 的标准差 σ。

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0.35, 0.1, 0.25, 0.3

σ =

4.概率困难

一份测试有 9 道选择题。一名靠猜的学生每题答对的概率为 0.3，相互独立。恰好答对 1 题的概率 P 是多少？

n = 9p = 0.3k = 1

P =

5.正态分布中等

拖动 z，使标准正态曲线下 −z 与 z 之间的阴影面积为 0.8584。求 z，保留两位小数。

A = 0.8584

z =

6.正态分布困难

成年男性的身高服从正态分布，均值为 178 cm，标准差为 7 cm。拖动截断值，使阴影的后 10% 位于其左侧。求截断值 x。

μ = 178 cmσ = 7 cm10%

x = cm

7.置信区间中等

基于 36 个观测值且 σ 已知的均值 95% 置信区间，其误差范围为 2.8。如果同一研究改用 144 个观测值，误差范围 E₂ 是多少？

95%n₁ = 36E₁ = 2.8n₂ = 144

E₂ =

8.置信区间困难

10 根机加工轴的直径样本标准差为 10 µm。假设直径服从正态分布，求总体标准差 95% 置信区间的下限 σ。df = 9 时，χ² 分布有 2.5% 位于 2.7 以下，2.5% 位于 19.023 以上。

n = 10s = 10 µmχ² = 2.7, 19.023

σ = µm

9.假设检验与置信区间中等

36 名学生的样本平均分为 55.8，样本标准差为 12。求 H₀: μ = 50 的检验统计量 t。

μ₀ = 50x̄ = 55.8s = 12n = 36

t =

10.假设检验与置信区间困难

在 α = 0.01 下，用容量为 25 的样本对 H₀: μ = 80 与 H₁: μ < 80 进行单侧 z 检验；已知标准差为 10。实际上均值为 74.4。求该检验的功效 1 − β，以百分比表示。

μ₀ = 80μ = 74.4σ = 10n = 25α = 0.01

1 − β = %

11.线性回归与相关中等

表中给出 6 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。求最小二乘直线的决定系数 r²。

n = 6

r² =

12.线性回归与相关困难

表中给出 6 对观测值 x = 学习小时数和 y = 考试成绩。使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。新得到一个观测值 (12, 119)。求其残差 e = y − ŷ。

n = 6(12, 119)

e =

3溶液

1.描述统计

答案: s = 14.5

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 279/7 = 39.86

离差平方

Σ(x − x̄)² = 7.143² + 8.143² + (−18.86)² + (−18.86)² + 7.143² + 19.14² + (−3.857)² = 1261

标准差

s = √(1261/6) = 14.5

答案

s = 14.5

2.描述统计

答案: z = −1

标准化

z = (50 − 60)/10 = −1

答案

z = −1

3.概率

答案: σ = 2.49

离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σ_Y = |a|·σ_X；加上常数不会改变离散程度。

平均数

μ = 0·0.35 + 2·0.1 + 4·0.25 + 6·0.3 = 3

平方的均值

E(X²) = 0·0.35 + 4·0.1 + 16·0.25 + 36·0.3 = 15.2

方差

Var(X) = 15.2 − 3² = 6.2

σ = √6.2 = 2.49

答案

σ = 2.49

4.概率

答案: P = 0.1556

概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

二项分布公式

P(X = 1) = 9·0.3¹·0.7⁸ = 9·0.3·0.05765 = 0.1556

答案

P = 0.1556

5.正态分布

答案: z = 1.47

由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。

z 左侧的面积

Φ(z) = (1 + 0.8584)/2 = 0.9292

反向查 z 表

在表中找到 0.9292，读出 z。

z = 1.47

答案

z = 1.47

6.正态分布

答案: x = 169 cm

左侧的面积

Φ(z) = 0.1

由表得到的 z

z ≈ −1.28

回到原来的单位

x = 178 − 1.28·7 = 169 cm

答案

x = 169 cm

7.置信区间

答案: E₂ = 1.4

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

误差范围之比

E₂/E₁ = (1.96/1.96)·√(36/144) = 0.5

新的误差范围

E₂ = 2.8·0.5 = 1.4

答案

E₂ = 1.4

8.置信区间

答案: σ = 6.878 µm

方差的区间：(n − 1)s²/σ² 服从自由度为 n − 1 的 χ² 分布。σ² 的 95% 区间从 (n − 1)s² 除以上侧 χ² 值（其上方占 2.5%）到 (n − 1)s² 除以下侧 χ² 值（其下方占 2.5%）；σ 的区间是这两个限值的平方根。它关于 s 不对称。

平方和

(n − 1)s² = 9·10² = 900

σ² 的限值

900/19.023 = 47.31

900/2.7 = 333.3

σ 的限值

σ = √47.31 = 6.878 µm

答案

σ = 6.878 µm

σ 的 95% 区间：[6.878, 18.26] µm。

9.假设检验与置信区间

答案: t = 2.9

均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。

标准误

SE = 12/√36 = 12/6 = 2

检验统计量

t = (55.8 − 50)/2 = 2.9

答案

t = 2.9

t_{0.025; df = 35} = 2.03

|t| > 2.03，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。

10.假设检验与置信区间

答案: 1 − β = 68.23 %

检验功效：功效 = 1 − β，是 H₀ 为假时拒绝 H₀ 的概率。由 μ₀ 和 z_α 求出临界值 x̄c，再用真实均值计算落在 x̄c 以外的概率：z = (x̄c − μ)/(σ/√n)。

临界样本均值

SE = 10/√25 = 2

x̄_c = 80 − 2.326·2 = 75.35

真实均值下的 z

z = (75.35 − 74.4)/2 = 0.474

功率

功效 = P(Z < 0.474) = 68.23%

1 − β = 68.23%

答案

1 − β = 68.23%

11.线性回归与相关

答案: r² = 0.969

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

均值

x̄ = 153/6 = 25.5

ȳ = 785/6 = 130.8

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 157.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 811.5

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 4315

决定系数

r² = 811.5²/(157.5·4315) = 0.969

答案

r² = 0.969

y 的变异中约有 96.9% 可由该直线解释。

12.线性回归与相关

答案: e = 4.581

均值

x̄ = 48/6 = 8

ȳ = 548/6 = 91.33

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 404

回归直线

b = 404/70 = 5.771

a = 91.33 − 5.771·8 = 45.16

ŷ = 45.16 + 5.771·x

预测值

ŷ = 45.16 + 5.771·12 = 114.4

残差

e = 119 − 114.4 = 4.581

答案

e = 4.581

该点位于直线上方。

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