描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
统计学基础：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2练习题
1.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：39, 43, 18, 37, 16, 30, 46。
n = 7
s =
2.描述统计困难
某量服从正态分布，平均数为 50，标准差为 12。数值高于 57.2 的比例 P 是多少？
μ = 50σ = 12x = 57.2
P =
3.概率中等
对图中的分布，求 X 的方差 Var(X)。
x: 1, 2, 3, 4p(x): 0.15, 0.3, 0.2, 0.35
Var(X) =
4.概率困难
X 的分布如图所示，Y = 2X + 4。求 Y 的标准差 σY。
x: 1, 2, 3, 4p(x): 0.25, 0.3, 0.2, 0.25Y = 2X + 4
σY =
5.正态分布中等
拖动 z，使标准正态曲线下 z 右侧的阴影面积为 0.9222。求 z，保留两位小数。
A = 0.9222
z =
6.正态分布困难
电池寿命服从正态分布，均值为 500 h，标准差为 40 h。求数值 x，使得有 10% 的数据低于它（第 10 百分位数）。
μ = 500σ = 40P = 10%
x = h
7.置信区间中等
一个包含 15 个个体的样本，均值为 93.5，标准差 s = 5。总体近似服从正态分布。 求均值的 95% 置信区间的下限。
n = 15x̄ = 93.5s = 595%t(14) = 2.145
下限 =
8.置信区间困难
一项预研究表明，约有 0.2 的产品有缺陷。 必须检验多少件产品 n，才能使比例的 90% 置信区间的误差范围不超过 0.025？
p ≈ 0.2E = 0.02590%
n =
9.假设检验与置信区间中等
16 名员工在培训课程前后各参加一次打字测试。记录每人的差值 d = 培训后 − 培训前（每分钟字数）。平均差值为 −5.75，差值的标准差为 10。求 H₀: μd = 0 的配对检验统计量 t。
n = 16d̄ = −5.75sd = 10
t =
10.假设检验与置信区间困难
在一项试验中，接受治疗 A 的 100 名患者中有 30 人康复，接受治疗 B 的 120 名患者中有 23 人康复。用合并比例求 H₀: p₁ = p₂ 的检验统计量 z。
x₁ = 30n₁ = 100x₂ = 23n₂ = 120
z =
11.线性回归与相关中等
表中给出 6 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。 求最小二乘直线的决定系数 r²。
n = 6
r² =
12.线性回归与相关困难
表中给出 6 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 x 取何值 x 时，直线预测 ŷ = 93？
n = 6ŷ = 93
x =
3溶液
1.描述统计
答案: s = 11.86
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 229/7 = 32.71
离差平方
Σ(x − x̄)² = 6.286² + 10.29² + (−14.71)² + 4.286² + (−16.71)² + (−2.714)² + 13.29² = 843.4
标准差
s = √(843.4/6) = 11.86
答案
s = 11.86
2.描述统计
答案: P = 0.2743
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = 0.6
标准正态分布表
Φ(0.6) = 0.7257
P = 1 − 0.7257 = 0.2743
答案
P = 0.2743
3.概率
答案: Var(X) = 1.188
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
平均数
μ = 1·0.15 + 2·0.3 + 3·0.2 + 4·0.35 = 2.75
平方的均值
E(X²) = 1·0.15 + 4·0.3 + 9·0.2 + 16·0.35 = 8.75
方差
Var(X) = 8.75 − 2.75² = 1.188
答案
Var(X) = 1.188
4.概率
答案: σY = 2.234
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
X 的离散程度
μ = 2.45, Var(X) = 1.247, σX = 1.117
线性变换
σY = |2|·1.117 = 2.234
答案
σY = 2.234
均值确实会改变：E(Y) = 2·2.45 + 4 = 8.9。
5.正态分布
答案: z = −1.42
由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。
z 左侧的面积
Φ(z) = 1 − 0.9222 = 0.0778
反向查 z 表
在表中找到 0.0778，读出 z。
z = −1.42
答案
z = −1.42
6.正态分布
答案: x = 448.7 h
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
该百分位数对应的 z
Φ(z) = 0.1 → z = −1.282
换算回 x
x = 500 + −1.282·40 = 448.74 h
答案
x = 448.74 h
7.置信区间
答案: 下限 = 90.73
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
临界值
df = n − 1 = 14, t = 2.145
误差范围
E = 2.145·5/√15 = 2.769
区间
93.5 ± 2.769 → [90.73, 96.27]
答案
下限 = 90.73
8.置信区间
答案: n = 693
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.
解出 n
n = 1.645²·0.2·0.8/0.025² = 692.7
向上取整
n = 693
答案
n = 693
9.假设检验与置信区间
答案: t = −2.3
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
平均差值的标准误
SE = 10/√16 = 2.5
检验统计量
t = −5.75/2.5 = −2.3
答案
t = −2.3
df = 15 时，双侧 5% 的临界值为 2.131；|t| 更大，所以拒绝 H₀。
10.假设检验与置信区间
答案: z = 1.871
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
样本比例
p̂₁ = 30/100 = 0.3
p̂₂ = 23/120 = 0.1917
p̂ = 53/220 = 0.2409
H₀ 下的标准误
SE = √(0.2409·0.7591·(1/100 + 1/120)) = 0.0579
检验统计量
z = (0.3 − 0.1917)/0.0579 = 1.871
答案
z = 1.871
|z| < 1.96，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。
11.线性回归与相关
答案: r² = 0.9448
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 132/6 = 22
ȳ = 615/6 = 102.5
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 323
Syy = Σ(y − ȳ)² = 1578
决定系数
r² = 323²/(70·1578) = 0.9448
答案
r² = 0.9448
y 的变异中约有 94.48% 可由该直线解释。
12.线性回归与相关
答案: x = 21.79
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 129/6 = 21.5
ȳ = 551/6 = 91.83
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 157.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 637.5
回归直线
b = 637.5/157.5 = 4.048
a = 91.83 − 4.048·21.5 = 4.81
ŷ = 4.81 + 4.048·x
解出 x
x = (93 − 4.81)/4.048 = 21.79
答案
x = 21.79
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