描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
统计学基础：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2练习题
1.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：31, 18, 39, 13, 10, 11, 43。
n = 7
s =
2.描述统计困难
某量服从正态分布，平均数为 60，标准差为 8。数值高于 72 的比例 P 是多少？
μ = 60σ = 8x = 72
P =
3.概率中等
对图中的分布，求 X 的方差 Var(X)。
x: 0, 1, 2p(x): 0.3, 0.35, 0.35
Var(X) =
4.概率困难
X 的分布如图所示，Y = −2X + 5。求 Y 的标准差 σY。
x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0.05, 0.05, 0.25, 0.35, 0.3Y = −2X + 5
σY =
5.正态分布中等
成年男性的身高服从正态分布，均值为 178 cm，标准差为 7 cm。介于 171.35 和 186.75 cm 之间的比例是多少？P 以小数表示。
μ = 178σ = 7x1 = 171.35x2 = 186.75
P =
6.正态分布困难
电池寿命 服从正态分布，均值为 500 h，标准差为 40 h。拖动截断值，使阴影的前 95% 位于其右侧。求截断值 x。
μ = 500 hσ = 40 h95%
x = h
7.置信区间中等
一个包含 12 个个体的样本，均值为 36，标准差 s = 1。总体近似服从正态分布。 求均值的 95% 置信区间的误差范围 E。
n = 12x̄ = 36s = 195%t(11) = 2.201
E =
8.置信区间困难
对两种肥料进行试验。地块组 1：23 块地，平均产量 57.5 kg，标准差 9 kg。地块组 2：8 块地，均值 50 kg，标准差 10 kg。假设方差相等（合并 t，df = n₁ + n₂ − 2）。 求 μ₁ − μ₂ 的 95% 置信区间的下限。
n₁ = 23x̄₁ = 57.5s₁ = 9n₂ = 8x̄₂ = 50s₂ = 1095%t(29) = 2.045
下限 = kg
9.假设检验与置信区间中等
据称某总体的均值为 120；已知总体标准差为 20。一个含 100 个观测值的随机样本均值为 117.2。检验 H₀: μ = 120 对 H₁: μ < 120。求 p 值 p。
μ₀ = 120σ = 20n = 100x̄ = 117.2H₁: μ < μ₀
p =
10.假设检验与置信区间困难
在 α = 0.05 下的单侧 z 检验，必须以 80% 的功效检测出均值 4 个单位的偏移。标准差为 28。求最小样本量 n。
α = 0.05功效 = 80%δ = 4σ = 28zα = 1.645zβ = 0.842
n =
11.线性回归与相关中等
表中给出 5 对观测值 x = 学习小时数 和 y = 考试成绩。 求皮尔逊相关系数 r。
n = 5
r =
12.线性回归与相关困难
表中给出 5 对观测值 x = 学习小时数 和 y = 考试成绩。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 预测 x = 2.5 时的 ŷ。
n = 5x = 2.5
ŷ =
3溶液
1.描述统计
答案: s = 13.88
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 165/7 = 23.57
离差平方
Σ(x − x̄)² = 7.429² + (−5.571)² + 15.43² + (−10.57)² + (−13.57)² + (−12.57)² + 19.43² = 1156
标准差
s = √(1156/6) = 13.88
答案
s = 13.88
2.描述统计
答案: P = 0.06681
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = 1.5
标准正态分布表
Φ(1.5) = 0.9332
P = 1 − 0.9332 = 0.06681
答案
P = 0.06681
3.概率
答案: Var(X) = 0.6475
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
平均数
μ = 0·0.3 + 1·0.35 + 2·0.35 = 1.05
平方的均值
E(X²) = 0·0.3 + 1·0.35 + 4·0.35 = 1.75
方差
Var(X) = 1.75 − 1.05² = 0.6475
答案
Var(X) = 0.6475
4.概率
答案: σY = 2.154
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
X 的离散程度
μ = 3.8, Var(X) = 1.16, σX = 1.077
线性变换
σY = |−2|·1.077 = 2.154
答案
σY = 2.154
均值确实会改变：E(Y) = −2·3.8 + 5 = −2.6。
5.正态分布
答案: P = 0.7233
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
z 分数
z₁ = (171.35 − 178)/7 = −0.95
z₂ = (186.75 − 178)/7 = 1.25
中间面积
P = Φ(1.25) − Φ(−0.95) = 0.8944 − 0.1711 = 0.7233
答案
P = 0.7233
6.正态分布
答案: x = 434 h
由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。
左侧的面积
Φ(z) = 0.05
由表得到的 z
z ≈ −1.64
回到原来的单位
x = 500 − 1.64·40 = 434 h
答案
x = 434 h
7.置信区间
答案: E = 0.6354
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
临界值
df = n − 1 = 11, t = 2.201
误差范围
E = 2.201·1/√12 = 0.6354
答案
E = 0.6354
8.置信区间
答案: 下限 = −0.2655 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
合并标准差
sp² = (22·9² + 7·10²)/29 = 85.59
sp = 9.251
误差范围
E = 2.045·9.251·√(1/23 + 1/8) = 7.765
区间
7.5 ± 7.765 → [−0.2655, 15.27]
答案
下限 = −0.2655 kg
9.假设检验与置信区间
答案: p = 0.08076
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
检验统计量
SE = σ/√n = 20/√100 = 2
z = (117.2 − 120)/2 = −1.4
尾部面积
Φ(1.4) = 0.9192
1 − Φ(1.4) = 0.0808
p 值
p = 0.08076
答案
p = 0.08076
p > 0.05，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀。
10.假设检验与置信区间
答案: n = 304
检验的样本量：在水平 α 下的单侧 z 检验中，要以功效 1 − β 检测出真实偏移 δ，标准误必须满足 δ = (z_α + z_β)·σ/√n，所以 n = ((z_α + z_β)·σ/δ)²，向上取整。
解出 n
n = ((1.645 + 0.842)·28/4)² = 303.1
向上取整
n = 304
答案
n = 304
11.线性回归与相关
答案: r = 0.9848
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 318/5 = 63.6
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 34
Syy = Σ(y − ȳ)² = 119.2
相关系数
r = 34/√(10·119.2) = 0.9848
答案
r = 0.9848
12.线性回归与相关
答案: ŷ = 57.75
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 308/5 = 61.6
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 77
回归直线
b = 77/10 = 7.7
a = 61.6 − 7.7·3 = 38.5
ŷ = 38.5 + 7.7·x
预测
ŷ = 38.5 + 7.7·2.5 = 57.75
答案
ŷ = 57.75
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