统计学基础：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

置信区间

σ 已知: x̄ ± z·σ/√n
σ 未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量: n = (z·σ/E)², rounded up

方法

在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
求该置信水平下的临界值。
误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
均值的 t 检验: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧: 若 |z| > 1.96 则拒绝 H₀
置信区间: x̄ ± z·σ/√n

方法

写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
与临界值比较，或求出 p 值。
若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

线性回归与相关

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
斜率: b = S_xy/S_xx
截距: a = ȳ − b·x̄
相关系数: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

2练习题

1.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：27, 54, 49, 40, 24, 25, 56。

n = 7

s =

2.描述统计困难

某量服从正态分布，平均数为 500，标准差为 100。数值高于 600 的比例 P 是多少？

μ = 500σ = 100x = 600

P =

3.概率中等

袋中有 6 个红球和 5 个蓝球。不放回地依次摸出两个球。两个都是红球的概率 P 是多少？

6 / 5

P =

4.概率困难

X 的分布如图所示，Y = 3X − 3。求 Y 的标准差 σ_Y。

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0.25, 0.3, 0.2, 0.25Y = 3X − 3

σ_Y =

5.正态分布中等

水泥袋的质量相互独立，服从均值 25 kg、标准差 0.5 kg 的正态分布。求其中 5 个的总质量超过 123.9 kg 的概率 P。z 取两位小数。

μ = 25 kgσ = 0.5 kgn = 5> 123.9 kg

P =

6.正态分布困难

孔径 D 服从均值 25.04 mm、标准差 0.02 mm 的正态分布。轴径 d 独立，服从均值 25 mm、标准差 0.015 mm 的正态分布。随机选取的一根轴在 D − d > 0 时能装入。求它能装入的概率 P。z 取两位小数。

孔: μ = 25.04 mm, σ = 0.02 mm轴: μ = 25 mm, σ = 0.015 mm

P =

7.置信区间中等

比较两种手机型号的电池续航时间。型号 1：40 部手机，均值 107 h，已知标准差 16 h。型号 2：100 部手机，均值 115 h，已知标准差 20 h。求 μ₁ − μ₂ 的 90% 置信区间的误差范围 E。

n₁ = 40x̄₁ = 107 hσ₁ = 16 hn₂ = 100x̄₂ = 115 hσ₂ = 20 h90%

E = h

8.置信区间困难

总体标准差为 36。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 90% 置信区间的误差范围不超过 1？

σ = 36E = 190%

n =

9.假设检验与置信区间中等

49 名学生的样本平均分为 122.4，样本标准差为 8。求 H₀: μ = 120 的检验统计量 t。

μ₀ = 120x̄ = 122.4s = 8n = 49

t =

10.假设检验与置信区间困难

16 次测量的样本均值为 494.5。总体标准差为 20。求均值 95% 置信区间的下限 L。

x̄ = 494.5σ = 20n = 1695%

L =

11.线性回归与相关中等

表中给出 6 对观测值 x = 车龄（年）和 y = 价格 (k€)。求最小二乘直线的决定系数 r²。

n = 6

r² =

12.线性回归与相关困难

表中给出 5 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。新得到一个观测值 (3, 10)。求其残差 e = y − ŷ。

n = 5(3, 10)

e =

3溶液

1.描述统计

答案: s = 14.02

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 275/7 = 39.29

离差平方

Σ(x − x̄)² = (−12.29)² + 14.71² + 9.714² + 0.7143² + (−15.29)² + (−14.29)² + 16.71² = 1179

标准差

s = √(1179/6) = 14.02

答案

s = 14.02

2.描述统计

答案: P = 0.1587

标准化

z = 1

标准正态分布表

Φ(1) = 0.8413

P = 1 − 0.8413 = 0.1587

答案

P = 0.1587

3.概率

答案: P = 0.2727

概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

第一次和第二次摸球

P = 6/11 · 5/10 = 30/110 = 0.2727

答案

P = 0.2727

4.概率

答案: σ_Y = 6.701

离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σ_Y = |a|·σ_X；加上常数不会改变离散程度。

X 的离散程度

μ = 2.9, Var(X) = 4.99, σ_X = 2.234

线性变换

σ_Y = |3|·2.234 = 6.701

答案

σ_Y = 6.701

均值确实会改变：E(Y) = 3·2.9 − 3 = 5.7。

5.正态分布

答案: P = 0.8365

正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²，所以 σ = √(σ_X² + σ_Y²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。

总和的分布

μ_T = 125 kg, σ_T = 0.5·√5 = 1.118 kg

标准化

z = (123.9 − 125)/1.118 = −0.98

概率

P = 1 − Φ(−0.98) = 0.8365

答案

P = 0.8365

6.正态分布

答案: P = 0.9452

差的分布

μ = 25.04 − 25 = 0.04 mm, σ = 0.025 mm

标准化

z = (0 − 0.04)/0.025 = −1.6

概率

P = 1 − Φ(−1.6) = 0.9452

答案

P = 0.9452

7.置信区间

答案: E = 5.305 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

点估计

x̄₁ − x̄₂ = 107 − 115 = −8

标准误

SE = √(16²/40 + 20²/100) = 3.225

误差范围

E = 1.645·3.225 = 5.305

答案

E = 5.305 h

区间不包含 0，所以两个均值有显著差异。

8.置信区间

答案: n = 3508

均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。

解出 n

n = (1.645·36/1)² = 3507

向上取整

样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。

n = 3508

答案

n = 3508

9.假设检验与置信区间

答案: t = 2.1

均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。

标准误

SE = 8/√49 = 8/7 = 1.143

检验统计量

t = (122.4 − 120)/1.143 = 2.1

答案

t = 2.1

t_{0.025; df = 48} = 2.011

|t| > 2.011，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。

10.假设检验与置信区间

答案: L = 484.7

误差范围

E = 1.96·20/√16 = 9.8

区间端点

L = 494.5 − 9.8 = 484.7

答案

L = 484.7

11.线性回归与相关

答案: r² = 0.8305

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

均值

x̄ = 21/6 = 3.5

ȳ = 155/6 = 25.83

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −22.5

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 34.83

决定系数

r² = −22.5²/(17.5·34.83) = 0.8305

答案

r² = 0.8305

y 的变异中约有 83.05% 可由该直线解释。

12.线性回归与相关

答案: e = 2.1

均值

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 59/5 = 11.8

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 52

回归直线

b = 52/40 = 1.3

a = 11.8 − 1.3·6 = 4

ŷ = 4 + 1.3·x

预测值

ŷ = 4 + 1.3·3 = 7.9

残差

e = 10 − 7.9 = 2.1

答案

e = 2.1

该点位于直线上方。

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