统计学基础：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

置信区间

σ 已知: x̄ ± z·σ/√n
σ 未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量: n = (z·σ/E)², rounded up

方法

在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
求该置信水平下的临界值。
误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
均值的 t 检验: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧: 若 |z| > 1.96 则拒绝 H₀
置信区间: x̄ ± z·σ/√n

方法

写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
与临界值比较，或求出 p 值。
若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

线性回归与相关

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
斜率: b = S_xy/S_xx
截距: a = ȳ − b·x̄
相关系数: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

2练习题

1.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：38, 49, 44, 32, 51, 43。

n = 6

s =

2.描述统计困难

某量服从正态分布，平均数为 500，标准差为 25。数值高于 550 的比例 P 是多少？

μ = 500σ = 25x = 550

P =

3.概率中等

对图中的分布，求 X 的标准差 σ。

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0.1, 0.35, 0.1, 0.1, 0.35

σ =

4.概率困难

一局游戏的参与费用为 €5。你以概率 0.2 赢得 €10，以概率 0.01 赢得 €50；其余情况什么也赢不到。赌注不退还。求每局的期望净收益 E(G)。

赌注 = €5€10: p = 0.2€50: p = 0.01

E(G) = €

5.正态分布中等

X 服从均值 120 mm、标准差 0.3 mm 的正态分布；Y 独立，服从均值 80 mm、标准差 0.4 mm 的正态分布。求 X + Y 大于 199.3 mm 的概率 P。z 取两位小数。

μ_X = 120, σ_X = 0.3μ_Y = 80, σ_Y = 0.4X + Y > 199.3 mm

P =

6.正态分布困难

考试成绩服从正态分布，均值为 65 分，标准差为 10 分。拖动截断值，使阴影的后 70% 位于其左侧。求截断值 x。

μ = 65 分σ = 10 分70%

x = 分

7.置信区间中等

基于 36 个观测值且 σ 已知的均值 90% 置信区间，其误差范围为 5.7。用同样的数据计算 95% 区间，其误差范围 E₂ 是多少？

90%n₁ = 36E₁ = 5.795%

E₂ =

8.置信区间困难

30 根机加工轴的直径样本标准差为 3.6 µm。假设直径服从正态分布，求总体标准差 95% 置信区间的上限 σ。df = 29 时，χ² 分布有 2.5% 位于 16.047 以下，2.5% 位于 45.722 以上。

n = 30s = 3.6 µmχ² = 16.047, 45.722

σ = µm

9.假设检验与置信区间中等

36 名学生的样本平均分为 51.6，样本标准差为 8。求 H₀: μ = 50 的检验统计量 t。

μ₀ = 50x̄ = 51.6s = 8n = 36

t =

10.假设检验与置信区间困难

样本至少要多大，才能使均值的 95% 置信区间的误差范围不超过 0.5？标准差为 5。求最小样本量 n。

σ = 5E = 0.595%

n =

11.线性回归与相关中等

表中给出 5 对观测值 x = 学习小时数和 y = 考试成绩。已给出它们的各项和。由这些和求皮尔逊相关系数 r。

n = 5Σx = 15Σy = 238Σx² = 55Σy² = 11414Σxy = 739

r =

12.线性回归与相关困难

表中给出 5 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。预测 x = 5 时的 ŷ。

n = 5x = 5

ŷ =

3溶液

1.描述统计

答案: s = 7.026

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 257/6 = 42.83

离差平方

Σ(x − x̄)² = (−4.833)² + 6.167² + 1.167² + (−10.83)² + 8.167² + 0.1667² = 246.8

标准差

s = √(246.8/5) = 7.026

答案

s = 7.026

2.描述统计

答案: P = 0.02275

标准化

z = 2

标准正态分布表

Φ(2) = 0.9772

P = 1 − 0.9772 = 0.02275

答案

P = 0.02275

3.概率

答案: σ = 1.479

离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σ_Y = |a|·σ_X；加上常数不会改变离散程度。

平均数

μ = 0·0.1 + 1·0.35 + 2·0.1 + 3·0.1 + 4·0.35 = 2.25

平方的均值

E(X²) = 0·0.1 + 1·0.35 + 4·0.1 + 9·0.1 + 16·0.35 = 7.25

方差

Var(X) = 7.25 − 2.25² = 2.188

σ = √2.188 = 1.479

答案

σ = 1.479

4.概率

答案: E(G) = −2.5 €

净结果

G: 5 (p = 0.2), 45 (p = 0.01), −5 (p = 0.79)

期望值

E(G) = 5·0.2 + 45·0.01 − 5·0.79 = −2.5 €

答案

E(G) = −2.5 €

负值表示平均而言你会亏钱。

5.正态分布

答案: P = 0.9192

正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²，所以 σ = √(σ_X² + σ_Y²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。

和的分布

μ = 200 mm, σ = √(0.3² + 0.4²) = 0.5 mm

标准化

z = (199.3 − 200)/0.5 = −1.4

上尾

P = 1 − Φ(−1.4) = 1 − 0.08076 = 0.9192

答案

P = 0.9192

6.正态分布

答案: x = 70.2 分

由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。

左侧的面积

Φ(z) = 0.7

由表得到的 z

z ≈ 0.52

回到原来的单位

x = 65 + 0.52·10 = 70.2 分

答案

x = 70.2 分

7.置信区间

答案: E₂ = 6.791

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

误差范围之比

E₂/E₁ = (1.96/1.645)·√(36/36) = 1.191

新的误差范围

E₂ = 5.7·1.191 = 6.791

答案

E₂ = 6.791

8.置信区间

答案: σ = 4.84 µm

方差的区间：(n − 1)s²/σ² 服从自由度为 n − 1 的 χ² 分布。σ² 的 95% 区间从 (n − 1)s² 除以上侧 χ² 值（其上方占 2.5%）到 (n − 1)s² 除以下侧 χ² 值（其下方占 2.5%）；σ 的区间是这两个限值的平方根。它关于 s 不对称。

平方和

(n − 1)s² = 29·3.6² = 375.8

σ² 的限值

375.8/45.722 = 8.22

375.8/16.047 = 23.42

σ 的限值

σ = √23.42 = 4.84 µm

答案

σ = 4.84 µm

σ 的 95% 区间：[2.867, 4.84] µm。

9.假设检验与置信区间

答案: t = 1.2

均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。

标准误

SE = 8/√36 = 8/6 = 1.333

检验统计量

t = (51.6 − 50)/1.333 = 1.2

答案

t = 1.2

t_{0.025; df = 35} = 2.03

|t| < 2.03，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。

10.假设检验与置信区间

答案: n = 385

解出 n

n = (1.96·5/0.5)² = 384.2

向上取整

n = 385

答案

n = 385

11.线性回归与相关

答案: r = 0.8565

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

中心化后的和

S_xy = 739 − 15·238/5 = 25

S_xx = 55 − 15²/5 = 10

S_yy = 11414 − 238²/5 = 85.2

答案

r = 0.8565

12.线性回归与相关

答案: ŷ = 16.25

均值

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 93/5 = 18.6

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 94

回归直线

b = 94/40 = 2.35

a = 18.6 − 2.35·6 = 4.5

ŷ = 4.5 + 2.35·x

预测

ŷ = 4.5 + 2.35·5 = 16.25

答案

ŷ = 16.25

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