描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
统计学基础：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2练习题
1.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：50, 49, 41, 55, 48, 56, 19。
n = 7
s =
2.描述统计困难
某量服从正态分布，平均数为 50，标准差为 8。数值高于 46 的比例 P 是多少？
μ = 50σ = 8x = 46
P =
3.概率中等
袋中有 8 个红球和 3 个蓝球。不放回地依次摸出两个球。两个都是红球的概率 P 是多少？
8 / 3
P =
4.概率困难
测试 9 个元件，每个独立地以概率 0.6 失效。至多一个失效的概率 P 是多少？
n = 9p = 0.6
P =
5.正态分布中等
带行李的乘客的质量相互独立，服从均值 85 kg、标准差 12 kg 的正态分布。求其中 9 个的总质量超过 801 kg 的概率 P。z 取两位小数。
μ = 85 kgσ = 12 kgn = 9> 801 kg
P =
6.正态分布困难
成年男性的身高服从正态分布，均值为 178 cm，标准差为 7 cm。求数值 x，使得有 99% 的数据低于它（第 99 百分位数）。
μ = 178σ = 7P = 99%
x = cm
7.置信区间中等
基于 100 个观测值且 σ 已知的均值 95% 置信区间，其误差范围为 8.3。 如果同一研究改用 900 个观测值，误差范围 E₂ 是多少？
95%n₁ = 100E₁ = 8.3n₂ = 900
E₂ =
8.置信区间困难
25 根机加工轴的直径样本标准差为 9.1 µm。假设直径服从正态分布，求总体标准差 95% 置信区间的下限 σ。df = 24 时，χ² 分布有 2.5% 位于 12.401 以下，2.5% 位于 39.364 以上。
n = 25s = 9.1 µmχ² = 12.401, 39.364
σ = µm
9.假设检验与置信区间中等
16 名学生的样本平均分为 128.5，样本标准差为 20。求 H₀: μ = 120 的检验统计量 t。
μ₀ = 120x̄ = 128.5s = 20n = 16
t =
10.假设检验与置信区间困难
在一项试验中，接受治疗 A 的 100 名患者中有 20 人康复，接受治疗 B 的 80 名患者中有 9 人康复。用合并比例求 H₀: p₁ = p₂ 的检验统计量 z。
x₁ = 20n₁ = 100x₂ = 9n₂ = 80
z =
11.线性回归与相关中等
表中给出 6 对观测值 x = 车龄（年） 和 y = 价格 (k€)。 求最小二乘直线的决定系数 r²。
n = 6
r² =
12.线性回归与相关困难
表中给出 6 对观测值 x = 车龄（年） 和 y = 价格 (k€)。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 新得到一个观测值 (1.5, 27)。求其残差 e = y − ŷ。
n = 6(1.5, 27)
e =
3溶液
1.描述统计
答案: s = 12.66
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 318/7 = 45.43
离差平方
Σ(x − x̄)² = 4.571² + 3.571² + (−4.429)² + 9.571² + 2.571² + 10.57² + (−26.43)² = 961.7
标准差
s = √(961.7/6) = 12.66
答案
s = 12.66
2.描述统计
答案: P = 0.6915
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = −0.5
标准正态分布表
Φ(−0.5) = 0.3085
P = 1 − 0.3085 = 0.6915
答案
P = 0.6915
3.概率
答案: P = 0.5091
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
第一次和第二次摸球
P = 8/11 · 7/10 = 56/110 = 0.5091
答案
P = 0.5091
4.概率
答案: P = 0.003801
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
零个和一个失效
P(X = 0) = 0.49 = 0.0002621
P(X = 1) = 9·0.6·0.48 = 0.003539
相加
P = 0.0002621 + 0.003539 = 0.003801
答案
P = 0.003801
5.正态分布
答案: P = 0.1587
正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μX ± μY。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σX² + σY²，所以 σ = √(σX² + σY²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。
总和的分布
μT = 765 kg, σT = 12·√9 = 36 kg
标准化
z = (801 − 765)/36 = 1
概率
P = 1 − Φ(1) = 0.1587
答案
P = 0.1587
6.正态分布
答案: x = 194.3 cm
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
该百分位数对应的 z
Φ(z) = 0.99 → z = 2.326
换算回 x
x = 178 + 2.326·7 = 194.28 cm
答案
x = 194.28 cm
7.置信区间
答案: E₂ = 2.767
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
误差范围之比
E₂/E₁ = (1.96/1.96)·√(100/900) = 0.3333
新的误差范围
E₂ = 8.3·0.3333 = 2.767
答案
E₂ = 2.767
8.置信区间
答案: σ = 7.106 µm
方差的区间：(n − 1)s²/σ² 服从自由度为 n − 1 的 χ² 分布。σ² 的 95% 区间从 (n − 1)s² 除以上侧 χ² 值（其上方占 2.5%）到 (n − 1)s² 除以下侧 χ² 值（其下方占 2.5%）；σ 的区间是这两个限值的平方根。它关于 s 不对称。
平方和
(n − 1)s² = 24·9.1² = 1987
σ² 的限值
1987/39.364 = 50.49
1987/12.401 = 160.3
σ 的限值
σ = √50.49 = 7.106 µm
答案
σ = 7.106 µm
σ 的 95% 区间：[7.106, 12.66] µm。
9.假设检验与置信区间
答案: t = 1.7
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
标准误
SE = 20/√16 = 20/4 = 5
检验统计量
t = (128.5 − 120)/5 = 1.7
答案
t = 1.7
t0.025; df = 15 = 2.131
|t| < 2.131，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。
10.假设检验与置信区间
答案: z = 1.587
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
样本比例
p̂₁ = 20/100 = 0.2
p̂₂ = 9/80 = 0.1125
p̂ = 29/180 = 0.1611
H₀ 下的标准误
SE = √(0.1611·0.8389·(1/100 + 1/80)) = 0.05515
检验统计量
z = (0.2 − 0.1125)/0.05515 = 1.587
答案
z = 1.587
|z| < 1.96，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。
11.线性回归与相关
答案: r² = 0.9742
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 21/6 = 3.5
ȳ = 89/6 = 14.83
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −46.5
Syy = Σ(y − ȳ)² = 126.8
决定系数
r² = −46.5²/(17.5·126.8) = 0.9742
答案
r² = 0.9742
y 的变异中约有 97.42% 可由该直线解释。
12.线性回归与相关
答案: e = 1.857
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 21/6 = 3.5
ȳ = 120/6 = 20
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −45
回归直线
b = −45/17.5 = −2.571
a = 20 − (−2.571)·3.5 = 29
ŷ = 29 − 2.571·x
预测值
ŷ = 29 + (−2.571)·1.5 = 25.14
残差
e = 27 − 25.14 = 1.857
答案
e = 1.857
该点位于直线上方。
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