描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
统计学基础：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2练习题
1.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：31, 36, 54, 29, 35, 45, 57。
n = 7
s =
2.描述统计困难
某量服从正态分布，平均数为 50，标准差为 12。数值高于 38 的比例 P 是多少？
μ = 50σ = 12x = 38
P =
3.概率中等
对图中的分布，求 X 的方差 Var(X)。
x: 0, 1, 2, 3p(x): 0.2, 0.25, 0.2, 0.35
Var(X) =
4.概率困难
一局游戏的参与费用为 €2。你以概率 0.1 赢得 €10，以概率 0.01 赢得 €40；其余情况什么也赢不到。赌注不退还。求每局的期望净收益 E(G)。
赌注 = €2€10: p = 0.1€40: p = 0.01
E(G) = €
5.正态分布中等
拖动 z，使标准正态曲线下 −z 与 z 之间的阴影面积为 0.5223。求 z，保留两位小数。
A = 0.5223
z =
6.正态分布困难
袋装重量服从正态分布，均值为 250 g，标准差为 5 g。求数值 x，使得有 5% 的数据低于它（第 5 百分位数）。
μ = 250σ = 5P = 5%
x = g
7.置信区间中等
测量 9 名患者治疗前后的血压。差值 d = 治疗前 − 治疗后 (mmHg) 的均值为 9.4，标准差为 0.8。 求平均差值的 95% 置信区间的下限。
n = 9d̄ = 9.4sd = 0.895%t(8) = 2.306
下限 = mmHg
8.置信区间困难
总体标准差为 25。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 99% 置信区间的误差范围不超过 4？
σ = 25E = 499%
n =
9.假设检验与置信区间中等
49 名学生的样本平均分为 79.97，样本标准差为 12。求 H₀: μ = 75 的检验统计量 t。
μ₀ = 75x̄ = 79.97s = 12n = 49
t =
10.假设检验与置信区间困难
在 α = 0.01 下，用容量为 64 的样本对 H₀: μ = 500 与 H₁: μ < 500 进行单侧 z 检验；已知标准差为 16。实际上均值为 496。 求第二类错误的概率 β，以百分比表示。
μ₀ = 500μ = 496σ = 16n = 64α = 0.01
β = %
11.线性回归与相关中等
表中给出 6 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。 求皮尔逊相关系数 r。
n = 6
r =
12.线性回归与相关困难
表中给出 6 对观测值 x = 学习小时数 和 y = 考试成绩。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 新得到一个观测值 (5.5, 71)。求其残差 e = y − ŷ。
n = 6(5.5, 71)
e =
3溶液
1.描述统计
答案: s = 11.15
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 287/7 = 41
离差平方
Σ(x − x̄)² = (−10)² + (−5)² + 13² + (−12)² + (−6)² + 4² + 16² = 746
标准差
s = √(746/6) = 11.15
答案
s = 11.15
2.描述统计
答案: P = 0.8413
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = −1
标准正态分布表
Φ(−1) = 0.1587
P = 1 − 0.1587 = 0.8413
答案
P = 0.8413
3.概率
答案: Var(X) = 1.31
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
平均数
μ = 0·0.2 + 1·0.25 + 2·0.2 + 3·0.35 = 1.7
平方的均值
E(X²) = 0·0.2 + 1·0.25 + 4·0.2 + 9·0.35 = 4.2
方差
Var(X) = 4.2 − 1.7² = 1.31
答案
Var(X) = 1.31
4.概率
答案: E(G) = −0.6 €
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
净结果
G: 8 (p = 0.1), 38 (p = 0.01), −2 (p = 0.89)
期望值
E(G) = 8·0.1 + 38·0.01 − 2·0.89 = −0.6 €
答案
E(G) = −0.6 €
负值表示平均而言你会亏钱。
5.正态分布
答案: z = 0.71
由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。
z 左侧的面积
Φ(z) = (1 + 0.5223)/2 = 0.7611
反向查 z 表
在表中找到 0.7611，读出 z。
z = 0.71
答案
z = 0.71
6.正态分布
答案: x = 241.8 g
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
该百分位数对应的 z
Φ(z) = 0.05 → z = −1.645
换算回 x
x = 250 + −1.645·5 = 241.78 g
答案
x = 241.78 g
7.置信区间
答案: 下限 = 8.785 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
临界值
df = 8, t = 2.306
误差范围
E = 2.306·0.8/√9 = 0.6149
区间
9.4 ± 0.6149 → [8.785, 10.01]
答案
下限 = 8.785 mmHg
8.置信区间
答案: n = 260
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
解出 n
n = (2.576·25/4)² = 259.2
向上取整
样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。
n = 260
答案
n = 260
9.假设检验与置信区间
答案: t = 2.899
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
标准误
SE = 12/√49 = 12/7 = 1.714
检验统计量
t = (79.97 − 75)/1.714 = 2.899
答案
t = 2.899
t0.025; df = 48 = 2.011
|t| > 2.011，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。
10.假设检验与置信区间
答案: β = 62.78 %
检验功效：功效 = 1 − β，是 H₀ 为假时拒绝 H₀ 的概率。由 μ₀ 和 z_α 求出临界值 x̄c，再用真实均值计算落在 x̄c 以外的概率：z = (x̄c − μ)/(σ/√n)。
临界样本均值
SE = 16/√64 = 2
x̄c = 500 − 2.326·2 = 495.3
真实均值下的 z
z = (495.3 − 496)/2 = −0.326
第二类错误
功效 = P(Z < −0.326) = 37.22%
β = 100% − 37.22% = 62.78%
答案
β = 62.78%
11.线性回归与相关
答案: r = 0.9953
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 109/6 = 18.17
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 151
Syy = Σ(y − ȳ)² = 328.8
相关系数
r = 151/√(70·328.8) = 0.9953
答案
r = 0.9953
12.线性回归与相关
答案: e = 2.076
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 21/6 = 3.5
ȳ = 358/6 = 59.67
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 81
回归直线
b = 81/17.5 = 4.629
a = 59.67 − 4.629·3.5 = 43.47
ŷ = 43.47 + 4.629·x
预测值
ŷ = 43.47 + 4.629·5.5 = 68.92
残差
e = 71 − 68.92 = 2.076
答案
e = 2.076
该点位于直线上方。
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