描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
统计学基础：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2练习题
1.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：33, 22, 51, 31, 23。
n = 5
s =
2.描述统计困难
考试成绩服从正态分布，平均数为 170，标准差为 15。求成绩 155 的 z 分数 z。
μ = 170σ = 15x = 155
z =
3.概率中等
从 15 人中选出 3 人组成委员会，有多少种选法 N？顺序无关。
n = 15k = 3
N =
4.概率困难
X 的分布如图所示，Y = 3X + 20。求 Y 的标准差 σY。
x: 0, 2, 4, 6p(x): 0.35, 0.3, 0.3, 0.05Y = 3X + 20
σY =
5.正态分布中等
考试成绩服从正态分布，均值为 65 分，标准差为 10 分。介于 55.5 和 77.5 分 之间的比例是多少？P 以小数表示。
μ = 65σ = 10x1 = 55.5x2 = 77.5
P =
6.正态分布困难
成年男性的身高 服从正态分布，均值为 178 cm，标准差为 7 cm。拖动截断值，使阴影的后 20% 位于其左侧。求截断值 x。
μ = 178 cmσ = 7 cm20%
x = cm
7.置信区间中等
基于 50 个观测值且 σ 已知的均值 99% 置信区间，其误差范围为 6.9。 如果同一研究改用 450 个观测值，误差范围 E₂ 是多少？
99%n₁ = 50E₁ = 6.9n₂ = 450
E₂ =
8.置信区间困难
总体标准差为 37。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 99% 置信区间的误差范围不超过 2.5？
σ = 37E = 2.599%
n =
9.假设检验与置信区间中等
16 名学生的样本平均分为 194.5，样本标准差为 10。求 H₀: μ = 200 的检验统计量 t。
μ₀ = 200x̄ = 194.5s = 10n = 16
t =
10.假设检验与置信区间困难
在 α = 0.05 下，用容量为 100 的样本对 H₀: μ = 100 与 H₁: μ > 100 进行单侧 z 检验；已知标准差为 30。实际上均值为 103。 求该检验的功效 1 − β，以百分比表示。
μ₀ = 100μ = 103σ = 30n = 100α = 0.05
1 − β = %
11.线性回归与相关中等
表中给出 6 对观测值 x = 车龄（年） 和 y = 价格 (k€)。 求皮尔逊相关系数 r。
n = 6
r =
12.线性回归与相关困难
表中给出 5 对观测值 x = 广告支出 (k€) 和 y = 销售额 (k€)。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 新得到一个观测值 (9, 86)。求其残差 e = y − ŷ。
n = 5(9, 86)
e =
3溶液
1.描述统计
答案: s = 11.66
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 160/5 = 32
离差平方
Σ(x − x̄)² = 1² + (−10)² + 19² + (−1)² + (−9)² = 544
标准差
s = √(544/4) = 11.66
答案
s = 11.66
2.描述统计
答案: z = −1
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = (155 − 170)/15 = −1
答案
z = −1
3.概率
答案: N = 455
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
组合
C(15, 3) = (15·14·13)/(3·2·1) = 455
答案
N = 455
4.概率
答案: σY = 5.524
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
X 的离散程度
μ = 2.1, Var(X) = 3.39, σX = 1.841
线性变换
σY = |3|·1.841 = 5.524
答案
σY = 5.524
均值确实会改变：E(Y) = 3·2.1 + 20 = 26.3。
5.正态分布
答案: P = 0.7233
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
z 分数
z₁ = (55.5 − 65)/10 = −0.95
z₂ = (77.5 − 65)/10 = 1.25
中间面积
P = Φ(1.25) − Φ(−0.95) = 0.8944 − 0.1711 = 0.7233
答案
P = 0.7233
6.正态分布
答案: x = 172.1 cm
由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。
左侧的面积
Φ(z) = 0.2
由表得到的 z
z ≈ −0.84
回到原来的单位
x = 178 − 0.84·7 = 172.1 cm
答案
x = 172.1 cm
7.置信区间
答案: E₂ = 2.3
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
误差范围之比
E₂/E₁ = (2.576/2.576)·√(50/450) = 0.3333
新的误差范围
E₂ = 6.9·0.3333 = 2.3
答案
E₂ = 2.3
8.置信区间
答案: n = 1454
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
解出 n
n = (2.576·37/2.5)² = 1454
向上取整
样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。
n = 1454
答案
n = 1454
9.假设检验与置信区间
答案: t = −2.2
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
标准误
SE = 10/√16 = 10/4 = 2.5
检验统计量
t = (194.5 − 200)/2.5 = −2.2
答案
t = −2.2
t0.025; df = 15 = 2.131
|t| > 2.131，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。
10.假设检验与置信区间
答案: 1 − β = 25.95 %
检验功效：功效 = 1 − β，是 H₀ 为假时拒绝 H₀ 的概率。由 μ₀ 和 z_α 求出临界值 x̄c，再用真实均值计算落在 x̄c 以外的概率：z = (x̄c − μ)/(σ/√n)。
临界样本均值
SE = 30/√100 = 3
x̄c = 100 + 1.645·3 = 104.9
真实均值下的 z
z = (104.9 − 103)/3 = 0.645
功率
功效 = P(Z > 0.645) = 25.95%
1 − β = 25.95%
答案
1 − β = 25.95%
11.线性回归与相关
答案: r = −0.937
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 21/6 = 3.5
ȳ = 127/6 = 21.17
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −47.5
Syy = Σ(y − ȳ)² = 146.8
相关系数
r = −47.5/√(17.5·146.8) = −0.937
答案
r = −0.937
12.线性回归与相关
答案: e = −2.2
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 348/5 = 69.6
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 248
回归直线
b = 248/40 = 6.2
a = 69.6 − 6.2·6 = 32.4
ŷ = 32.4 + 6.2·x
预测值
ŷ = 32.4 + 6.2·9 = 88.2
残差
e = 86 − 88.2 = −2.2
答案
e = −2.2
该点位于直线下方。
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