统计学（二）：统计推断：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

新题目返回课程

在打印窗口中选择“另存为 PDF”，即可在设备上保存一份副本。

1公式与方法

正态分布

z 分数
z = (x − μ)/σ
小于 x
P(X < x) = Φ(z)
大于 x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间
Φ(z2) − Φ(z1)
百分位数
x = μ + z·σ

方法

  1. 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
  2. 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
  3. 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
  4. 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

置信区间

σ 已知
x̄ ± z·σ/√n
σ 未知
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量
n = (z·σ/E)², rounded up

方法

  1. 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
  2. 求该置信水平下的临界值。
  3. 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
  4. 区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
均值的 t 检验
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧
若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
置信区间
x̄ ± z·σ/√n

方法

  1. 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
  2. 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
  3. 与临界值比较，或求出 p 值。
  4. 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

线性回归与相关

平方和
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
斜率
b = Sxy/Sxx
截距
a = ȳ − b·x̄
相关系数
r = Sxy/√(SxxSyy)
残差
e = y − ŷ

卡方检验

检验统计量
χ² = Σ(O − E)²/E
拟合优度
E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
独立性
E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
临界值（α = 0.05）
df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
决策
若 χ² > χ²crit，则拒绝 H0

2练习题

1.正态分布中等
340 kg364 kgT = X₁ + … + X₄?

带行李的乘客的质量相互独立，服从均值 85 kg、标准差 12 kg 的正态分布。求其中 4 个的总质量低于 364 kg 的概率 P。z 取两位小数。

μ = 85 kgσ = 12 kgn = 4< 364 kg
P =
2.正态分布困难
μ = 500x = ?99%

电池寿命服从正态分布，均值为 500 h，标准差为 40 h。求数值 x，使得有 99% 的数据低于它（第 99 百分位数）。

μ = 500σ = 40P = 99%
x = h
3.置信区间中等
n = 16, s = 6.5LUx̄ = 14.5E = ?95%

一个包含 16 个个体的样本，均值为 14.5，标准差 s = 6.5。总体近似服从正态分布。 求均值的 95% 置信区间的误差范围 E。

n = 16x̄ = 14.5s = 6.595%t(15) = 2.131
E =
4.置信区间困难
σ = 30, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 190%

总体标准差为 30。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 90% 置信区间的误差范围不超过 1？

σ = 30E = 190%
n =
5.假设检验与置信区间中等
−2.0862.086t = ?df = 20

比较两种教学方法。第 1 组：7 名学生，平均分 78.5，标准差 2。第 2 组：15 名学生，平均分 83.4，标准差 6。假设总体方差相等，使用合并方差的两样本 t 检验。取差值为 x̄₁ − x̄₂（第 1 组减第 2 组），求 H₀: μ₁ = μ₂ 的检验统计量 t。

n₁ = 7x̄₁ = 78.5s₁ = 2n₂ = 15x̄₂ = 83.4s₂ = 6
t =
6.假设检验与置信区间困难
σ = 10, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 299%

样本至少要多大，才能使均值的 99% 置信区间的误差范围不超过 2？标准差为 10。求最小样本量 n。

σ = 10E = 299%
n =
7.线性回归与相关中等
xy3535617709831196xy5106080100

表中给出 5 对观测值 x = 广告支出 (k€) 和 y = 销售额 (k€)。 求最小二乘直线的决定系数 r²。

n = 5
r² =
8.线性回归与相关困难
xy124223323420517xy2420x = 4.5

表中给出 5 对观测值 x = 车龄（年） 和 y = 价格 (k€)。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 新得到一个观测值 (4.5, 22)。求其残差 e = y − ŷ。

n = 5(4.5, 22)
e =
9.卡方检验中等
低中高合计城市40161268农村35322693合计754838161

列联表给出了观测频数。为进行卡方独立性检验，求单元格“农村，高”的期望频数 E。

行合计 = 93列合计 = 38N = 161
E =
10.卡方检验困难
dfα = 0.05α = 0.0113.8416.63525.9919.21037.81511.34549.48813.277511.07015.086612.59216.812714.06718.475815.50720.090916.91921.6661018.30723.209

对一个 3 行 4 列（不含合计）的列联表进行卡方独立性检验。 利用表格，求显著性水平 α = 0.01 下的临界值 χ²crit。

α = 0.01
χ²crit =

3溶液

1.正态分布

答案: P = 0.8413

正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μX ± μY。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σX² + σY²，所以 σ = √(σX² + σY²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。

总和的分布

μT = 340 kg, σT = 12·√4 = 24 kg

标准化

z = (364 − 340)/24 = 1

概率

P = Φ(1) = 0.8413

答案

P = 0.8413
2.正态分布

答案: x = 593.1 h

正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。

该百分位数对应的 z

Φ(z) = 0.99 → z = 2.326

换算回 x

x = 500 + 2.326·40 = 593.05 h

答案

x = 593.05 h
3.置信区间

答案: E = 3.463

均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。

临界值

df = n − 1 = 15, t = 2.131

误差范围

E = 2.131·6.5/√16 = 3.463

答案

E = 3.463
4.置信区间

答案: n = 2436

均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。

解出 n

n = (1.645·30/1)² = 2435

向上取整

样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。

n = 2436

答案

n = 2436
5.假设检验与置信区间

答案: t = −2.083

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

合并方差

sp² = (6·2² + 14·6²)/20 = 26.4
sp = 5.138

标准误

SE = 5.138·√(1/7 + 1/15) = 2.352

检验统计量

t = (78.5 − 83.4)/2.352 = −2.083

答案

t = −2.083

df = 20 时，双侧 5% 的临界值为 2.086；|t| 更小，所以不拒绝 H₀。

6.假设检验与置信区间

答案: n = 166

均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。

解出 n

n = (2.576·10/2)² = 165.9

向上取整

n = 166

答案

n = 166
7.线性回归与相关

答案: r² = 0.9875

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

均值

x̄ = 35/5 = 7
ȳ = 363/5 = 72.6

平方和与乘积和

Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 216
Syy = Σ(y − ȳ)² = 1181

决定系数

r² = 216²/(40·1181) = 0.9875

答案

r² = 0.9875

y 的变异中约有 98.75% 可由该直线解释。

8.线性回归与相关

答案: e = 3.15

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

均值

x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 107/5 = 21.4

平方和与乘积和

Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −17

回归直线

b = −17/10 = −1.7
a = 21.4 − (−1.7)·3 = 26.5
ŷ = 26.5 − 1.7·x

预测值

ŷ = 26.5 + (−1.7)·4.5 = 18.85

残差

e = 22 − 18.85 = 3.15

答案

e = 3.15

该点位于直线上方。

9.卡方检验

答案: E = 21.95

卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。

期望频数

E = 93·38/161 = 21.95

答案

E = 21.95
10.卡方检验

答案: χ²crit = 16.81

卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。

自由度

df = (3 − 1)·(4 − 1) = 6

表

χ²crit(df = 6, α = 0.01) = 16.812

答案

χ²crit = 16.812

若计算出的 χ² 大于该值，则拒绝 H₀。

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-2-inference