正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
统计学（二）：统计推断：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
卡方检验
- 检验统计量
- χ² = Σ(O − E)²/E
- 拟合优度
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- 独立性
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- 临界值（α = 0.05）
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- 决策
- 若 χ² > χ²crit，则拒绝 H0
2练习题
1.正态分布中等
配送时间服从正态分布，均值为 32 min，标准差为 6 min。介于 32.3 和 44 min 之间的比例是多少？P 以小数表示。
μ = 32σ = 6x1 = 32.3x2 = 44
P =
2.正态分布困难
电池寿命服从正态分布，均值为 500 h，标准差为 40 h。求数值 x，使得有 20% 的数据低于它（第 20 百分位数）。
μ = 500σ = 40P = 20%
x = h
3.置信区间中等
比较两种手机型号的电池续航时间。型号 1：100 部手机，均值 77 h，已知标准差 19 h。型号 2：100 部手机，均值 67.5 h，已知标准差 3 h。 求 μ₁ − μ₂ 的 95% 置信区间的误差范围 E。
n₁ = 100x̄₁ = 77 hσ₁ = 19 hn₂ = 100x̄₂ = 67.5 hσ₂ = 3 h95%
E = h
4.置信区间困难
总体标准差为 31。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 90% 置信区间的误差范围不超过 5？
σ = 31E = 590%
n =
5.假设检验与置信区间中等
13 名员工在培训课程前后各参加一次打字测试。记录每人的差值 d = 培训后 − 培训前（每分钟字数）。平均差值为 2.72，差值的标准差为 3.5。求 H₀: μd = 0 的配对检验统计量 t。
n = 13d̄ = 2.72sd = 3.5
t =
6.假设检验与置信区间困难
在 α = 0.05 下的单侧 z 检验，必须以 90% 的功效检测出均值 2.5 个单位的偏移。标准差为 12。求最小样本量 n。
α = 0.05功效 = 90%δ = 2.5σ = 12zα = 1.645zβ = 1.282
n =
7.线性回归与相关中等
表中给出 5 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。 已给出它们的各项和。由这些和求皮尔逊相关系数 r。
n = 5Σx = 30Σy = 78Σx² = 220Σy² = 1410Σxy = 554
r =
8.线性回归与相关困难
表中给出 5 对观测值 x = 车龄（年） 和 y = 价格 (k€)。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 新得到一个观测值 (1.5, 20)。求其残差 e = y − ŷ。
n = 5(1.5, 20)
e =
9.卡方检验中等
列联表给出了观测频数。为进行卡方独立性检验，求单元格“农村，高”的期望频数 E。
行合计 = 36列合计 = 46N = 101
E =
10.卡方检验困难
表中给出了观测频数。在 α = 0.01 下检验两个变量是否独立（不使用连续性校正）。计算检验统计量 χ²，再与表中的临界值比较。
N = 2003 × 2α = 0.01
χ² =
3溶液
1.正态分布
答案: P = 0.4573
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
z 分数
z₁ = (32.3 − 32)/6 = 0.05
z₂ = (44 − 32)/6 = 2
中间面积
P = Φ(2) − Φ(0.05) = 0.9772 − 0.5199 = 0.4573
答案
P = 0.4573
2.正态分布
答案: x = 466.3 h
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
该百分位数对应的 z
Φ(z) = 0.2 → z = −0.8416
换算回 x
x = 500 + −0.8416·40 = 466.34 h
答案
x = 466.34 h
3.置信区间
答案: E = 3.77 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
点估计
x̄₁ − x̄₂ = 77 − 67.5 = 9.5
标准误
SE = √(19²/100 + 3²/100) = 1.924
误差范围
E = 1.96·1.924 = 3.77
答案
E = 3.77 h
区间不包含 0，所以两个均值有显著差异。
4.置信区间
答案: n = 105
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
解出 n
n = (1.645·31/5)² = 104
向上取整
样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。
n = 105
答案
n = 105
5.假设检验与置信区间
答案: t = 2.802
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
平均差值的标准误
SE = 3.5/√13 = 0.9707
检验统计量
t = 2.72/0.9707 = 2.802
答案
t = 2.802
df = 12 时，双侧 5% 的临界值为 2.179；|t| 更大，所以拒绝 H₀。
6.假设检验与置信区间
答案: n = 198
检验的样本量：在水平 α 下的单侧 z 检验中，要以功效 1 − β 检测出真实偏移 δ，标准误必须满足 δ = (z_α + z_β)·σ/√n，所以 n = ((z_α + z_β)·σ/δ)²，向上取整。
解出 n
n = ((1.645 + 1.282)·12/2.5)² = 197.4
向上取整
n = 198
答案
n = 198
7.线性回归与相关
答案: r = 0.9783
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
中心化后的和
Sxy = 554 − 30·78/5 = 86
Sxx = 220 − 30²/5 = 40
Syy = 1410 − 78²/5 = 193.2
相关系数
r = 86/√(40·193.2) = 0.9783
答案
r = 0.9783
8.线性回归与相关
答案: e = −2.1
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 100/5 = 20
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −14
回归直线
b = −14/10 = −1.4
a = 20 − (−1.4)·3 = 24.2
ŷ = 24.2 − 1.4·x
预测值
ŷ = 24.2 + (−1.4)·1.5 = 22.1
残差
e = 20 − 22.1 = −2.1
答案
e = −2.1
该点位于直线下方。
9.卡方检验
答案: E = 16.4
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
E = 36·46/101 = 16.4
答案
E = 16.4
10.卡方检验
答案: χ² = 33.7
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
生产线 1: 48, 32
生产线 2: 48, 32
生产线 3: 24, 16
卡方统计量
χ² = (49 − 48)²/48 + (31 − 32)²/32 + (62 − 48)²/48 + (18 − 32)²/32 + (9 − 24)²/24 + (31 − 16)²/16
χ² = 33.7
决策
df = 2, χ²crit = 9.210
33.7 > 9.210
答案
χ² = 33.7
χ² 高于临界值，所以拒绝 H₀：两个变量看起来是相关的。
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