正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
统计学（二）：统计推断：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
卡方检验
- 检验统计量
- χ² = Σ(O − E)²/E
- 拟合优度
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- 独立性
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- 临界值（α = 0.05）
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- 决策
- 若 χ² > χ²crit，则拒绝 H0
2练习题
1.正态分布中等
配送时间服从正态分布，均值为 32 min，标准差为 6 min。介于 23.3 和 38 min 之间的比例是多少？P 以小数表示。
μ = 32σ = 6x1 = 23.3x2 = 38
P =
2.正态分布困难
袋装重量 服从正态分布，均值为 250 g，标准差为 5 g。拖动截断值，使阴影的后 70% 位于其左侧。求截断值 x。
μ = 250 gσ = 5 g70%
x = g
3.置信区间中等
基于 100 个观测值且 σ 已知的均值 99% 置信区间，其误差范围为 11.2。 基于 400 个观测值的 90% 区间，其误差范围 E₂ 是多少？
99%n₁ = 100E₁ = 11.290%n₂ = 400
E₂ =
4.置信区间困难
一项预研究表明，约有 0.3 的产品有缺陷。 必须检验多少件产品 n，才能使比例的 99% 置信区间的误差范围不超过 0.01？
p ≈ 0.3E = 0.0199%
n =
5.假设检验与置信区间中等
两条生产线生产同一种零件。生产线 1：80 个零件的样本平均长度为 104 mm，该生产线的已知标准差为 5 mm。生产线 2：60 个零件的样本均值为 106.7 mm，已知标准差为 11 mm。取差值为 x̄₁ − x̄₂（生产线 1 减生产线 2），求 H₀: μ₁ = μ₂ 的检验统计量 z。
n₁ = 80x̄₁ = 104 mmσ₁ = 5 mmn₂ = 60x̄₂ = 106.7 mmσ₂ = 11 mm
z =
6.假设检验与置信区间困难
100 次测量的样本均值为 196.9。总体标准差为 12。求均值 90% 置信区间的上限 U。
x̄ = 196.9σ = 12n = 10090%
U =
7.线性回归与相关中等
表中给出 6 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。 求最小二乘直线的决定系数 r²。
n = 6
r² =
8.线性回归与相关困难
表中给出 5 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 x 取何值 x 时，直线预测 ŷ = 10？
n = 5ŷ = 10
x =
9.卡方检验中等
列联表给出了观测频数。为进行卡方独立性检验，求单元格“学生，公交车”的期望频数 E。
行合计 = 98列合计 = 71N = 194
E =
10.卡方检验困难
一个卡方拟合优度检验将 7 个类别的观测频数与完全给定的期望比例进行比较（没有由数据估计的参数）。 利用表格，求显著性水平 α = 0.05 下的临界值 χ²crit。
α = 0.05
χ²crit =
3溶液
1.正态分布
答案: P = 0.7678
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
z 分数
z₁ = (23.3 − 32)/6 = −1.45
z₂ = (38 − 32)/6 = 1
中间面积
P = Φ(1) − Φ(−1.45) = 0.8413 − 0.07353 = 0.7678
答案
P = 0.7678
2.正态分布
答案: x = 252.6 g
由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。
左侧的面积
Φ(z) = 0.7
由表得到的 z
z ≈ 0.52
回到原来的单位
x = 250 + 0.52·5 = 252.6 g
答案
x = 252.6 g
3.置信区间
答案: E₂ = 3.576
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
误差范围之比
E₂/E₁ = (1.645/2.576)·√(100/400) = 0.3193
新的误差范围
E₂ = 11.2·0.3193 = 3.576
答案
E₂ = 3.576
4.置信区间
答案: n = 13936
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.
解出 n
n = 2.576²·0.3·0.7/0.01² = 13935
向上取整
n = 13936
答案
n = 13936
5.假设检验与置信区间
答案: z = −1.769
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
差值的标准误
SE = √(5²/80 + 11²/60) = √2.329 = 1.526
检验统计量
z = (104 − 106.7)/1.526 = −1.769
答案
z = −1.769
|z| < 1.96，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。
6.假设检验与置信区间
答案: U = 198.9
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
误差范围
E = 1.645·12/√100 = 1.974
区间端点
U = 196.9 + 1.974 = 198.9
答案
U = 198.9
7.线性回归与相关
答案: r² = 0.9763
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 103/6 = 17.17
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 179
Syy = Σ(y − ȳ)² = 468.8
决定系数
r² = 179²/(70·468.8) = 0.9763
答案
r² = 0.9763
y 的变异中约有 97.63% 可由该直线解释。
8.线性回归与相关
答案: x = 4.743
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 61/5 = 12.2
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 70
回归直线
b = 70/40 = 1.75
a = 12.2 − 1.75·6 = 1.7
ŷ = 1.7 + 1.75·x
解出 x
x = (10 − 1.7)/1.75 = 4.743
答案
x = 4.743
9.卡方检验
答案: E = 35.87
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
E = 98·71/194 = 35.87
答案
E = 35.87
10.卡方检验
答案: χ²crit = 12.59
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
自由度
df = 7 − 1 = 6
表
χ²crit(df = 6, α = 0.05) = 12.592
答案
χ²crit = 12.592
若计算出的 χ² 大于该值，则拒绝 H₀。
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