正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
统计学（二）：统计推断：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
卡方检验
- 检验统计量
- χ² = Σ(O − E)²/E
- 拟合优度
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- 独立性
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- 临界值（α = 0.05）
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- 决策
- 若 χ² > χ²crit，则拒绝 H0
2练习题
1.正态分布中等
考试成绩服从正态分布，均值为 65 分，标准差为 10 分。介于 55.5 和 75.5 分 之间的比例是多少？P 以小数表示。
μ = 65σ = 10x1 = 55.5x2 = 75.5
P =
2.正态分布困难
成年男性的身高 服从正态分布，均值为 178 cm，标准差为 7 cm。拖动截断值，使阴影的前 15% 位于其右侧。求截断值 x。
μ = 178 cmσ = 7 cm15%
x = cm
3.置信区间中等
一个包含 13 个个体的样本，均值为 63.5，标准差 s = 11.5。总体近似服从正态分布。 求均值的 99% 置信区间的上限。
n = 13x̄ = 63.5s = 11.599%t(12) = 3.055
上限 =
4.置信区间困难
对两种肥料进行试验。地块组 1：16 块地，平均产量 72.5 kg，标准差 8.5 kg。地块组 2：10 块地，均值 70 kg，标准差 5 kg。假设方差相等（合并 t，df = n₁ + n₂ − 2）。 求 μ₁ − μ₂ 的 90% 置信区间的下限。
n₁ = 16x̄₁ = 72.5s₁ = 8.5n₂ = 10x̄₂ = 70s₂ = 590%t(24) = 1.711
下限 = kg
5.假设检验与置信区间中等
据称某总体的均值为 50；已知总体标准差为 16。一个含 64 个观测值的随机样本均值为 53.64。检验 H₀: μ = 50 对 H₁: μ ≠ 50。求 p 值 p。
μ₀ = 50σ = 16n = 64x̄ = 53.64H₁: μ ≠ μ₀
p =
6.假设检验与置信区间困难
100 次测量的样本均值为 500.3。总体标准差为 5。求均值 95% 置信区间的下限 L。
x̄ = 500.3σ = 5n = 10095%
L =
7.线性回归与相关中等
表中给出 5 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。 已给出它们的各项和。由这些和求皮尔逊相关系数 r。
n = 5Σx = 105Σy = 546Σx² = 2295Σy² = 61586Σxy = 11886
r =
8.线性回归与相关困难
表中给出 6 对观测值 x = 广告支出 (k€) 和 y = 销售额 (k€)。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 x 取何值 x 时，直线预测 ŷ = 49？
n = 6ŷ = 49
x =
9.卡方检验中等
列联表给出了观测频数。为进行卡方独立性检验，求单元格“城市，高”的期望频数 E。
行合计 = 123列合计 = 72N = 208
E =
10.卡方检验困难
一个卡方拟合优度检验将 9 个类别的观测频数与完全给定的期望比例进行比较（没有由数据估计的参数）。 该检验的自由度 df 是多少？
k = 9
df =
3溶液
1.正态分布
答案: P = 0.6821
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
z 分数
z₁ = (55.5 − 65)/10 = −0.95
z₂ = (75.5 − 65)/10 = 1.05
中间面积
P = Φ(1.05) − Φ(−0.95) = 0.8531 − 0.1711 = 0.6821
答案
P = 0.6821
2.正态分布
答案: x = 185.3 cm
由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。
左侧的面积
Φ(z) = 0.85
由表得到的 z
z ≈ 1.04
回到原来的单位
x = 178 + 1.04·7 = 185.3 cm
答案
x = 185.3 cm
3.置信区间
答案: 上限 = 73.24
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
临界值
df = n − 1 = 12, t = 3.055
误差范围
E = 3.055·11.5/√13 = 9.744
区间
63.5 ± 9.744 → [53.76, 73.24]
答案
上限 = 73.24
4.置信区间
答案: 下限 = −2.593 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
合并标准差
sp² = (15·8.5² + 9·5²)/24 = 54.53
sp = 7.385
误差范围
E = 1.711·7.385·√(1/16 + 1/10) = 5.093
区间
2.5 ± 5.093 → [−2.593, 7.593]
答案
下限 = −2.593 kg
5.假设检验与置信区间
答案: p = 0.06876
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
检验统计量
SE = σ/√n = 16/√64 = 2
z = (53.64 − 50)/2 = 1.82
尾部面积
Φ(1.82) = 0.9656
1 − Φ(1.82) = 0.0344
p 值
p = 2·0.0344 = 0.06876
答案
p = 0.06876
p > 0.05，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀。
6.假设检验与置信区间
答案: L = 499.3
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
误差范围
E = 1.96·5/√100 = 0.98
区间端点
L = 500.3 − 0.98 = 499.3
答案
L = 499.3
7.线性回归与相关
答案: r = 0.9993
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
中心化后的和
Sxy = 11886 − 105·546/5 = 420
Sxx = 2295 − 105²/5 = 90
Syy = 61586 − 546²/5 = 1963
相关系数
r = 420/√(90·1963) = 0.9993
答案
r = 0.9993
8.线性回归与相关
答案: x = 4.459
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 21/6 = 3.5
ȳ = 270/6 = 45
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 73
回归直线
b = 73/17.5 = 4.171
a = 45 − 4.171·3.5 = 30.4
ŷ = 30.4 + 4.171·x
解出 x
x = (49 − 30.4)/4.171 = 4.459
答案
x = 4.459
9.卡方检验
答案: E = 42.58
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
E = 123·72/208 = 42.58
答案
E = 42.58
10.卡方检验
答案: df = 8
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
自由度
df = 9 − 1 = 8
答案
df = 8
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