统计学（二）：统计推断：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

正态分布

z 分数
z = (x − μ)/σ
小于 x
P(X < x) = Φ(z)
大于 x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间
Φ(z2) − Φ(z1)
百分位数
x = μ + z·σ

方法

  1. 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
  2. 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
  3. 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
  4. 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

置信区间

σ 已知
x̄ ± z·σ/√n
σ 未知
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量
n = (z·σ/E)², rounded up

方法

  1. 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
  2. 求该置信水平下的临界值。
  3. 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
  4. 区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
均值的 t 检验
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧
若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
置信区间
x̄ ± z·σ/√n

方法

  1. 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
  2. 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
  3. 与临界值比较，或求出 p 值。
  4. 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

线性回归与相关

平方和
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
斜率
b = Sxy/Sxx
截距
a = ȳ − b·x̄
相关系数
r = Sxy/√(SxxSyy)
残差
e = y − ŷ

卡方检验

检验统计量
χ² = Σ(O − E)²/E
拟合优度
E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
独立性
E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
临界值（α = 0.05）
df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
决策
若 χ² > χ²crit，则拒绝 H0

2练习题

1.正态分布中等
−3−2−10123z−z 与 z 之间的阴影面积 = 0.4581

拖动 z，使标准正态曲线下 −z 与 z 之间的阴影面积为 0.4581。求 z，保留两位小数。

A = 0.4581
z =
2.正态分布困难
μ = 250x = ?5%

袋装重量服从正态分布，均值为 250 g，标准差为 5 g。求数值 x，使得有 5% 的数据低于它（第 5 百分位数）。

μ = 250σ = 5P = 5%
x = g
3.置信区间中等
n = 6, sd​ = 6.40L = ?Ud̄ = 8.6E95%

测量 6 名患者治疗前后的血压。差值 d = 治疗前 − 治疗后 (mmHg) 的均值为 8.6，标准差为 6.4。 求平均差值的 95% 置信区间的下限。

n = 6d̄ = 8.6sd = 6.495%t(5) = 2.571
下限 = mmHg
4.置信区间困难
σ = 6, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 295%

总体标准差为 6。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 95% 置信区间的误差范围不超过 2？

σ = 6E = 295%
n =
5.假设检验与置信区间中等
t −2.13102.131

16 名学生的样本平均分为 503.4，样本标准差为 8。求 H₀: μ = 500 的检验统计量 t。

μ₀ = 500x̄ = 503.4s = 8n = 16
t =
6.假设检验与置信区间困难
z −1.64501.645

100 次测量的样本均值为 100.2。总体标准差为 4。求均值 90% 置信区间的下限 L。

x̄ = 100.2σ = 4n = 10090%
L =
7.线性回归与相关中等
xy14236256978499211100xy510406080100

表中给出 6 对观测值 x = 学习小时数 和 y = 考试成绩。 已给出它们的各项和。由这些和求皮尔逊相关系数 r。

n = 6Σx = 36Σy = 449Σx² = 286Σy² = 35889Σxy = 3089
r =
8.线性回归与相关困难
xy128227324422523622xy24622242628x = 2.5

表中给出 6 对观测值 x = 车龄（年） 和 y = 价格 (k€)。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 预测 x = 2.5 时的 ŷ。

n = 6x = 2.5
ŷ =
9.卡方检验中等
无缺陷轻微严重合计白班12331257夜班25302580合计376337137

列联表给出了观测频数。为进行卡方独立性检验，求单元格“白班，无缺陷”的期望频数 E。

行合计 = 57列合计 = 37N = 137
E =
10.卡方检验困难

一个卡方拟合优度检验检验 8 个类别的频数是否服从泊松分布，其均值由同一组数据估计。 该检验的自由度 df 是多少？

k = 8
df =

3溶液

1.正态分布

答案: z = 0.61

由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。

z 左侧的面积

Φ(z) = (1 + 0.4581)/2 = 0.7291

反向查 z 表

在表中找到 0.7291，读出 z。

z = 0.61

答案

z = 0.61
2.正态分布

答案: x = 241.8 g

正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。

该百分位数对应的 z

Φ(z) = 0.05 → z = −1.645

换算回 x

x = 250 + −1.645·5 = 241.78 g

答案

x = 241.78 g
3.置信区间

答案: 下限 = 1.883 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

临界值

df = 5, t = 2.571

误差范围

E = 2.571·6.4/√6 = 6.717

区间

8.6 ± 6.717 → [1.883, 15.32]

答案

下限 = 1.883 mmHg
4.置信区间

答案: n = 35

均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。

解出 n

n = (1.96·6/2)² = 34.57

向上取整

样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。

n = 35

答案

n = 35
5.假设检验与置信区间

答案: t = 1.7

均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。

标准误

SE = 8/√16 = 8/4 = 2

检验统计量

t = (503.4 − 500)/2 = 1.7

答案

t = 1.7
t0.025; df = 15 = 2.131

|t| < 2.131，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。

6.假设检验与置信区间

答案: L = 99.54

均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。

误差范围

E = 1.645·4/√100 = 0.658

区间端点

L = 100.2 − 0.658 = 99.54

答案

L = 99.54
7.线性回归与相关

答案: r = 0.9868

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

中心化后的和

Sxy = 3089 − 36·449/6 = 395
Sxx = 286 − 36²/6 = 70
Syy = 35889 − 449²/6 = 2289

相关系数

r = 395/√(70·2289) = 0.9868

答案

r = 0.9868
8.线性回归与相关

答案: ŷ = 25.59

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

均值

x̄ = 21/6 = 3.5
ȳ = 146/6 = 24.33

平方和与乘积和

Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −22

回归直线

b = −22/17.5 = −1.257
a = 24.33 − (−1.257)·3.5 = 28.73
ŷ = 28.73 − 1.257·x

预测

ŷ = 28.73 + (−1.257)·2.5 = 25.59

答案

ŷ = 25.59
9.卡方检验

答案: E = 15.39

卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。

期望频数

E = 57·37/137 = 15.39

答案

E = 15.39
10.卡方检验

答案: df = 6

卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。

自由度

df = 8 − 1 − 1 = 6

答案

df = 6

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