正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
统计学（二）：统计推断：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
卡方检验
- 检验统计量
- χ² = Σ(O − E)²/E
- 拟合优度
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- 独立性
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- 临界值（α = 0.05）
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- 决策
- 若 χ² > χ²crit，则拒绝 H0
2练习题
1.正态分布中等
考试成绩服从正态分布，均值为 65 分，标准差为 10 分。介于 50 和 73 分 之间的比例是多少？P 以小数表示。
μ = 65σ = 10x1 = 50x2 = 73
P =
2.正态分布困难
成年男性的身高 服从正态分布，均值为 178 cm，标准差为 7 cm。拖动截断值，使阴影的后 75% 位于其左侧。求截断值 x。
μ = 178 cmσ = 7 cm75%
x = cm
3.置信区间中等
一个包含 9 个个体的样本，均值为 17.5，标准差 s = 9.5。总体近似服从正态分布。 求均值的 95% 置信区间的误差范围 E。
n = 9x̄ = 17.5s = 9.595%t(8) = 2.306
E =
4.置信区间困难
一项预研究表明，约有 0.2 的产品有缺陷。 必须检验多少件产品 n，才能使比例的 99% 置信区间的误差范围不超过 0.01？
p ≈ 0.2E = 0.0199%
n =
5.假设检验与置信区间中等
49 名学生的样本平均分为 201.7，样本标准差为 4。求 H₀: μ = 200 的检验统计量 t。
μ₀ = 200x̄ = 201.7s = 4n = 49
t =
6.假设检验与置信区间困难
36 次测量的样本均值为 492.3。总体标准差为 20。求均值 95% 置信区间的下限 L。
x̄ = 492.3σ = 20n = 3695%
L =
7.线性回归与相关中等
表中给出 6 对观测值 x = 车龄（年） 和 y = 价格 (k€)。 已给出它们的各项和。由这些和求皮尔逊相关系数 r。
n = 6Σx = 21Σy = 138Σx² = 91Σy² = 3214Σxy = 459
r =
8.线性回归与相关困难
表中给出 5 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 x 取何值 x 时，直线预测 ŷ = 10？
n = 5ŷ = 10
x =
9.卡方检验中等
列联表给出了观测频数。计算行变量与列变量独立性检验的卡方统计量 χ²。不使用连续性校正。
N = 1002 × 3
χ² =
10.卡方检验困难
表中给出了观测频数。在 α = 0.05 下检验两个变量是否独立（不使用连续性校正）。计算检验统计量 χ²，再与表中的临界值比较。
N = 1803 × 2α = 0.05
χ² =
3溶液
1.正态分布
答案: P = 0.7213
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
z 分数
z₁ = (50 − 65)/10 = −1.5
z₂ = (73 − 65)/10 = 0.8
中间面积
P = Φ(0.8) − Φ(−1.5) = 0.7881 − 0.06681 = 0.7213
答案
P = 0.7213
2.正态分布
答案: x = 182.7 cm
由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。
左侧的面积
Φ(z) = 0.75
由表得到的 z
z ≈ 0.67
回到原来的单位
x = 178 + 0.67·7 = 182.7 cm
答案
x = 182.7 cm
3.置信区间
答案: E = 7.302
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
临界值
df = n − 1 = 8, t = 2.306
误差范围
E = 2.306·9.5/√9 = 7.302
答案
E = 7.302
4.置信区间
答案: n = 10618
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.
解出 n
n = 2.576²·0.2·0.8/0.01² = 10617
向上取整
n = 10618
答案
n = 10618
5.假设检验与置信区间
答案: t = 2.975
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
标准误
SE = 4/√49 = 4/7 = 0.5714
检验统计量
t = (201.7 − 200)/0.5714 = 2.975
答案
t = 2.975
t0.025; df = 48 = 2.011
|t| > 2.011，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。
6.假设检验与置信区间
答案: L = 485.8
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
误差范围
E = 1.96·20/√36 = 6.533
区间端点
L = 492.3 − 6.533 = 485.8
答案
L = 485.8
7.线性回归与相关
答案: r = −0.9071
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
中心化后的和
Sxy = 459 − 21·138/6 = −24
Sxx = 91 − 21²/6 = 17.5
Syy = 3214 − 138²/6 = 40
相关系数
r = −24/√(17.5·40) = −0.9071
答案
r = −0.9071
8.线性回归与相关
答案: x = 6.889
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 44/5 = 8.8
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 54
回归直线
b = 54/40 = 1.35
a = 8.8 − 1.35·6 = 0.7
ŷ = 0.7 + 1.35·x
解出 x
x = (10 − 0.7)/1.35 = 6.889
答案
x = 6.889
9.卡方检验
答案: χ² = 6.343
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
白班: 40·15/100 = 6, 40·40/100 = 16, 40·45/100 = 18
夜班: 60·15/100 = 9, 60·40/100 = 24, 60·45/100 = 27
卡方统计量
χ² = (8 − 6)²/6 + (10 − 16)²/16 + (22 − 18)²/18 + (7 − 9)²/9 + (30 − 24)²/24 + (23 − 27)²/27
χ² = 6.343
答案
χ² = 6.343
df = 2。在 α = 0.05 时临界值为 5.991，所以 H₀（独立）被拒绝。
10.卡方检验
答案: χ² = 8.75
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
18–30 岁: 24, 36
31–50 岁: 24, 36
51 岁及以上: 24, 36
卡方统计量
χ² = (30 − 24)²/24 + (30 − 36)²/36 + (27 − 24)²/24 + (33 − 36)²/36 + (15 − 24)²/24 + (45 − 36)²/36
χ² = 8.75
决策
df = 2, χ²crit = 5.991
8.75 > 5.991
答案
χ² = 8.75
χ² 高于临界值，所以拒绝 H₀：两个变量看起来是相关的。
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