正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
统计学（二）：统计推断：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
卡方检验
- 检验统计量
- χ² = Σ(O − E)²/E
- 拟合优度
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- 独立性
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- 临界值（α = 0.05）
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- 决策
- 若 χ² > χ²crit，则拒绝 H0
2练习题
1.正态分布中等
智商分数服从正态分布，均值为 100 分，标准差为 15 分。介于 93.25 和 103 分 之间的比例是多少？P 以小数表示。
μ = 100σ = 15x1 = 93.25x2 = 103
P =
2.正态分布困难
智商分数 服从正态分布，均值为 100 分，标准差为 15 分。拖动截断值，使阴影的后 75% 位于其左侧。求截断值 x。
μ = 100 分σ = 15 分75%
x = 分
3.置信区间中等
一个包含 6 个个体的样本，均值为 53.5，标准差 s = 4。总体近似服从正态分布。 求均值的 90% 置信区间的误差范围 E。
n = 6x̄ = 53.5s = 490%t(5) = 2.015
E =
4.置信区间困难
事先对缺陷产品的比例一无所知。 必须检验多少件产品 n，才能使比例的 95% 置信区间的误差范围不超过 0.01？
p = 0.5E = 0.0195%
n =
5.假设检验与置信区间中等
据称某总体的均值为 100；已知总体标准差为 18。一个含 144 个观测值的随机样本均值为 103.12。检验 H₀: μ = 100 对 H₁: μ ≠ 100。求 p 值 p。
μ₀ = 100σ = 18n = 144x̄ = 103.12H₁: μ ≠ μ₀
p =
6.假设检验与置信区间困难
在一项试验中，接受治疗 A 的 150 名患者中有 30 人康复，接受治疗 B 的 100 名患者中有 24 人康复。用合并比例求 H₀: p₁ = p₂ 的检验统计量 z。
x₁ = 30n₁ = 150x₂ = 24n₂ = 100
z =
7.线性回归与相关中等
表中给出 5 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。 已给出它们的各项和。由这些和求皮尔逊相关系数 r。
n = 5Σx = 30Σy = 55Σx² = 220Σy² = 699Σxy = 390
r =
8.线性回归与相关困难
表中给出 6 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 新得到一个观测值 (16.5, 46)。求其残差 e = y − ŷ。
n = 6(16.5, 46)
e =
9.卡方检验中等
列联表给出了观测频数。计算行变量与列变量独立性检验的卡方统计量 χ²。不使用连续性校正。
N = 1802 × 3
χ² =
10.卡方检验困难
一个卡方拟合优度检验检验 9 个类别的频数是否服从泊松分布，其均值由同一组数据估计。 利用表格，求显著性水平 α = 0.05 下的临界值 χ²crit。
α = 0.05
χ²crit =
3溶液
1.正态分布
答案: P = 0.2529
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
z 分数
z₁ = (93.25 − 100)/15 = −0.45
z₂ = (103 − 100)/15 = 0.2
中间面积
P = Φ(0.2) − Φ(−0.45) = 0.5793 − 0.3264 = 0.2529
答案
P = 0.2529
2.正态分布
答案: x = 110.1 分
由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。
左侧的面积
Φ(z) = 0.75
由表得到的 z
z ≈ 0.67
回到原来的单位
x = 100 + 0.67·15 = 110.1 分
答案
x = 110.1 分
3.置信区间
答案: E = 3.29
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
临界值
df = n − 1 = 5, t = 2.015
误差范围
E = 2.015·4/√6 = 3.29
答案
E = 3.29
4.置信区间
答案: n = 9604
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.
解出 n
n = 1.96²·0.5·0.5/0.01² = 9604
向上取整
n = 9604
答案
n = 9604
5.假设检验与置信区间
答案: p = 0.03753
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
检验统计量
SE = σ/√n = 18/√144 = 1.5
z = (103.12 − 100)/1.5 = 2.08
尾部面积
Φ(2.08) = 0.9812
1 − Φ(2.08) = 0.0188
p 值
p = 2·0.0188 = 0.03753
答案
p = 0.03753
p ≤ 0.05，所以在 5% 水平下拒绝 H₀。
6.假设检验与置信区间
答案: z = −0.7529
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
样本比例
p̂₁ = 30/150 = 0.2
p̂₂ = 24/100 = 0.24
p̂ = 54/250 = 0.216
H₀ 下的标准误
SE = √(0.216·0.784·(1/150 + 1/100)) = 0.05313
检验统计量
z = (0.2 − 0.24)/0.05313 = −0.7529
答案
z = −0.7529
|z| < 1.96，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。
7.线性回归与相关
答案: r = 0.9785
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
中心化后的和
Sxy = 390 − 30·55/5 = 60
Sxx = 220 − 30²/5 = 40
Syy = 699 − 55²/5 = 94
相关系数
r = 60/√(40·94) = 0.9785
答案
r = 0.9785
8.线性回归与相关
答案: e = 4.81
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 135/6 = 22.5
ȳ = 374/6 = 62.33
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 157.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 555
回归直线
b = 555/157.5 = 3.524
a = 62.33 − 3.524·22.5 = −16.95
ŷ = −16.95 + 3.524·x
预测值
ŷ = −16.95 + 3.524·16.5 = 41.19
残差
e = 46 − 41.19 = 4.81
答案
e = 4.81
该点位于直线上方。
9.卡方检验
答案: χ² = 4.339
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
学生: 80·45/180 = 20, 80·63/180 = 28, 80·72/180 = 32
教职工: 100·45/180 = 25, 100·63/180 = 35, 100·72/180 = 40
卡方统计量
χ² = (15 − 20)²/20 + (27 − 28)²/28 + (38 − 32)²/32 + (30 − 25)²/25 + (36 − 35)²/35 + (34 − 40)²/40
χ² = 4.339
答案
χ² = 4.339
df = 2。在 α = 0.05 时临界值为 5.991，所以 H₀（独立）不被拒绝。
10.卡方检验
答案: χ²crit = 14.07
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
自由度
df = 9 − 1 − 1 = 7
表
χ²crit(df = 7, α = 0.05) = 14.067
答案
χ²crit = 14.067
若计算出的 χ² 大于该值，则拒绝 H₀。
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