正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
统计学（二）：统计推断：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
卡方检验
- 检验统计量
- χ² = Σ(O − E)²/E
- 拟合优度
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- 独立性
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- 临界值（α = 0.05）
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- 决策
- 若 χ² > χ²crit，则拒绝 H0
2练习题
1.正态分布中等
袋装重量服从正态分布，均值为 250 g，标准差为 5 g。介于 242.5 和 251 g 之间的比例是多少？P 以小数表示。
μ = 250σ = 5x1 = 242.5x2 = 251
P =
2.正态分布困难
袋装重量 服从正态分布，均值为 250 g，标准差为 5 g。拖动截断值，使阴影的后 5% 位于其左侧。求截断值 x。
μ = 250 gσ = 5 g5%
x = g
3.置信区间中等
一个包含 21 个个体的样本，均值为 29.5，标准差 s = 5。总体近似服从正态分布。 求均值的 99% 置信区间的上限。
n = 21x̄ = 29.5s = 599%t(20) = 2.845
上限 =
4.置信区间困难
事先对缺陷产品的比例一无所知。 必须检验多少件产品 n，才能使比例的 99% 置信区间的误差范围不超过 0.03？
p = 0.5E = 0.0399%
n =
5.假设检验与置信区间中等
36 名学生的样本平均分为 114.5，样本标准差为 15。求 H₀: μ = 120 的检验统计量 t。
μ₀ = 120x̄ = 114.5s = 15n = 36
t =
6.假设检验与置信区间困难
在一项试验中，接受治疗 A 的 300 名患者中有 195 人康复，接受治疗 B 的 120 名患者中有 86 人康复。用合并比例求 H₀: p₁ = p₂ 的检验统计量 z。
x₁ = 195n₁ = 300x₂ = 86n₂ = 120
z =
7.线性回归与相关中等
表中给出 6 对观测值 x = 广告支出 (k€) 和 y = 销售额 (k€)。 求皮尔逊相关系数 r。
n = 6
r =
8.线性回归与相关困难
表中给出 6 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 x 取何值 x 时，直线预测 ŷ = 141？
n = 6ŷ = 141
x =
9.卡方检验中等
列联表给出了观测频数。为进行卡方独立性检验，求单元格“白班，严重”的期望频数 E。
行合计 = 108列合计 = 77N = 223
E =
10.卡方检验困难
对一个 3 行 3 列（不含合计）的列联表进行卡方独立性检验。 该检验的自由度 df 是多少？
3 × 3
df =
3溶液
1.正态分布
答案: P = 0.5125
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
z 分数
z₁ = (242.5 − 250)/5 = −1.5
z₂ = (251 − 250)/5 = 0.2
中间面积
P = Φ(0.2) − Φ(−1.5) = 0.5793 − 0.06681 = 0.5125
答案
P = 0.5125
2.正态分布
答案: x = 241.8 g
由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。
左侧的面积
Φ(z) = 0.05
由表得到的 z
z ≈ −1.64
回到原来的单位
x = 250 − 1.64·5 = 241.8 g
答案
x = 241.8 g
3.置信区间
答案: 上限 = 32.6
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
临界值
df = n − 1 = 20, t = 2.845
误差范围
E = 2.845·5/√21 = 3.104
区间
29.5 ± 3.104 → [26.4, 32.6]
答案
上限 = 32.6
4.置信区间
答案: n = 1844
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.
解出 n
n = 2.576²·0.5·0.5/0.03² = 1843
向上取整
n = 1844
答案
n = 1844
5.假设检验与置信区间
答案: t = −2.2
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
标准误
SE = 15/√36 = 15/6 = 2.5
检验统计量
t = (114.5 − 120)/2.5 = −2.2
答案
t = −2.2
t0.025; df = 35 = 2.03
|t| > 2.03，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。
6.假设检验与置信区间
答案: z = −1.312
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
样本比例
p̂₁ = 195/300 = 0.65
p̂₂ = 86/120 = 0.7167
p̂ = 281/420 = 0.669
H₀ 下的标准误
SE = √(0.669·0.331·(1/300 + 1/120)) = 0.05083
检验统计量
z = (0.65 − 0.7167)/0.05083 = −1.312
答案
z = −1.312
|z| < 1.96，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。
7.线性回归与相关
答案: r = 0.9831
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 342/6 = 57
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 288
Syy = Σ(y − ȳ)² = 1226
相关系数
r = 288/√(70·1226) = 0.9831
答案
r = 0.9831
8.线性回归与相关
答案: x = 28.47
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 153/6 = 25.5
ȳ = 755/6 = 125.8
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 157.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 805.5
回归直线
b = 805.5/157.5 = 5.114
a = 125.8 − 5.114·25.5 = −4.581
ŷ = −4.581 + 5.114·x
解出 x
x = (141 − (−4.581))/5.114 = 28.47
答案
x = 28.47
9.卡方检验
答案: E = 37.29
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
E = 108·77/223 = 37.29
答案
E = 37.29
10.卡方检验
答案: df = 4
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
自由度
df = (3 − 1)·(3 − 1) = 4
答案
df = 4
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