统计学（二）：统计推断：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

置信区间

σ 已知: x̄ ± z·σ/√n
σ 未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量: n = (z·σ/E)², rounded up

方法

在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
求该置信水平下的临界值。
误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
均值的 t 检验: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧: 若 |z| > 1.96 则拒绝 H₀
置信区间: x̄ ± z·σ/√n

方法

写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
与临界值比较，或求出 p 值。
若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

线性回归与相关

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
斜率: b = S_xy/S_xx
截距: a = ȳ − b·x̄
相关系数: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

卡方检验

检验统计量: χ² = Σ(O − E)²/E
拟合优度: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
独立性: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
临界值（α = 0.05）: df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
决策: 若 χ² > χ²_crit，则拒绝 H₀

2练习题

1.正态分布中等

拖动 z，使标准正态曲线下 z 右侧的阴影面积为 0.6700。求 z，保留两位小数。

A = 0.6700

z =

2.正态分布困难

袋装重量服从正态分布，均值为 250 g，标准差为 5 g。拖动截断值，使阴影的前 15% 位于其右侧。求截断值 x。

μ = 250 gσ = 5 g15%

x = g

3.置信区间中等

测量 16 名患者治疗前后的血压。差值 d = 治疗前 − 治疗后 (mmHg) 的均值为 −6.8，标准差为 4.9。求平均差值的 95% 置信区间的误差范围 E。

n = 16d̄ = −6.8s_d = 4.995%t(15) = 2.131

E = mmHg

4.置信区间困难

对两种肥料进行试验。地块组 1：6 块地，平均产量 74 kg，标准差 6.5 kg。地块组 2：15 块地，均值 84.5 kg，标准差 7 kg。假设方差相等（合并 t，df = n₁ + n₂ − 2）。求 μ₁ − μ₂ 的 95% 置信区间的上限。

n₁ = 6x̄₁ = 74s₁ = 6.5n₂ = 15x̄₂ = 84.5s₂ = 795%t(19) = 2.093

上限 = kg

5.假设检验与置信区间中等

9 名员工在培训课程前后各参加一次打字测试。记录每人的差值 d = 培训后 − 培训前（每分钟字数）。平均差值为 6.84，差值的标准差为 10.8。求 H₀: μ_d = 0 的配对检验统计量 t。

n = 9d̄ = 6.84s_d = 10.8

t =

6.假设检验与置信区间困难

在一项试验中，接受治疗 A 的 300 名患者中有 75 人康复，接受治疗 B 的 150 名患者中有 48 人康复。用合并比例求 H₀: p₁ = p₂ 的检验统计量 z。

x₁ = 75n₁ = 300x₂ = 48n₂ = 150

z =

7.线性回归与相关中等

表中给出 6 对观测值 x = 广告支出 (k€) 和 y = 销售额 (k€)。已给出它们的各项和。由这些和求皮尔逊相关系数 r。

n = 6Σx = 36Σy = 319Σx² = 286Σy² = 17417Σxy = 2091

r =

8.线性回归与相关困难

表中给出 6 对观测值 x = 学习小时数和 y = 考试成绩。使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。新得到一个观测值 (2.5, 54)。求其残差 e = y − ŷ。

n = 6(2.5, 54)

e =

9.卡方检验中等

列联表给出了观测频数。计算行变量与列变量独立性检验的卡方统计量 χ²。不使用连续性校正。

N = 2202 × 2

χ² =

10.卡方检验困难

一个卡方拟合优度检验检验 6 个类别的频数是否服从泊松分布，其均值由同一组数据估计。利用表格，求显著性水平 α = 0.01 下的临界值 χ²_crit。

α = 0.01

χ²_crit =

3溶液

1.正态分布

答案: z = −0.44

由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。

z 左侧的面积

Φ(z) = 1 − 0.6700 = 0.3300

反向查 z 表

在表中找到 0.3300，读出 z。

z = −0.44

答案

z = −0.44

2.正态分布

答案: x = 255.2 g

左侧的面积

Φ(z) = 0.85

由表得到的 z

z ≈ 1.04

回到原来的单位

x = 250 + 1.04·5 = 255.2 g

答案

x = 255.2 g

3.置信区间

答案: E = 2.61 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

临界值

df = 15, t = 2.131

误差范围

E = 2.131·4.9/√16 = 2.61

答案

E = 2.61 mmHg

4.置信区间

答案: 上限 = −3.552 kg

合并标准差

s_p² = (5·6.5² + 14·7²)/19 = 47.22

s_p = 6.872

误差范围

E = 2.093·6.872·√(1/6 + 1/15) = 6.948

区间

−10.5 ± 6.948 → [−17.45, −3.552]

答案

上限 = −3.552 kg

5.假设检验与置信区间

答案: t = 1.9

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

平均差值的标准误

SE = 10.8/√9 = 3.6

检验统计量

t = 6.84/3.6 = 1.9

答案

t = 1.9

df = 8 时，双侧 5% 的临界值为 2.306；|t| 更小，所以不拒绝 H₀。

6.假设检验与置信区间

答案: z = −1.571

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

样本比例

p̂₁ = 75/300 = 0.25

p̂₂ = 48/150 = 0.32

p̂ = 123/450 = 0.2733

H₀ 下的标准误

SE = √(0.2733·0.7267·(1/300 + 1/150)) = 0.04457

检验统计量

z = (0.25 − 0.32)/0.04457 = −1.571

答案

z = −1.571

|z| < 1.96，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。

7.线性回归与相关

答案: r = 0.9898

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

中心化后的和

S_xy = 2091 − 36·319/6 = 177

S_xx = 286 − 36²/6 = 70

S_yy = 17417 − 319²/6 = 456.8

答案

r = 0.9898

8.线性回归与相关

答案: e = 2.948

均值

x̄ = 27/6 = 4.5

ȳ = 343/6 = 57.17

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 53.5

回归直线

b = 53.5/17.5 = 3.057

a = 57.17 − 3.057·4.5 = 43.41

ŷ = 43.41 + 3.057·x

预测值

ŷ = 43.41 + 3.057·2.5 = 51.05

残差

e = 54 − 51.05 = 2.948

答案

e = 2.948

该点位于直线上方。

9.卡方检验

答案: χ² = 8.963

卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。

期望频数

吸烟者: 120·121/220 = 66, 120·99/220 = 54

不吸烟者: 100·121/220 = 55, 100·99/220 = 45

卡方统计量

χ² = (55 − 66)²/66 + (65 − 54)²/54 + (66 − 55)²/55 + (34 − 45)²/45

χ² = 8.963

答案

χ² = 8.963

df = 1。在 α = 0.05 时临界值为 3.841，所以 H₀（独立）被拒绝。

10.卡方检验

答案: χ²_crit = 13.28

自由度

df = 6 − 1 − 1 = 4

表

χ²_crit(df = 4, α = 0.01) = 13.277

答案

χ²_crit = 13.277

若计算出的 χ² 大于该值，则拒绝 H₀。

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