统计学（二）：统计推断：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

正态分布

z 分数
z = (x − μ)/σ
小于 x
P(X < x) = Φ(z)
大于 x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间
Φ(z2) − Φ(z1)
百分位数
x = μ + z·σ

方法

  1. 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
  2. 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
  3. 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
  4. 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

置信区间

σ 已知
x̄ ± z·σ/√n
σ 未知
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量
n = (z·σ/E)², rounded up

方法

  1. 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
  2. 求该置信水平下的临界值。
  3. 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
  4. 区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
均值的 t 检验
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧
若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
置信区间
x̄ ± z·σ/√n

方法

  1. 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
  2. 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
  3. 与临界值比较，或求出 p 值。
  4. 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

线性回归与相关

平方和
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
斜率
b = Sxy/Sxx
截距
a = ȳ − b·x̄
相关系数
r = Sxy/√(SxxSyy)
残差
e = y − ŷ

卡方检验

检验统计量
χ² = Σ(O − E)²/E
拟合优度
E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
独立性
E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
临界值（α = 0.05）
df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
决策
若 χ² > χ²crit，则拒绝 H0

2练习题

1.正态分布中等
−3−2−10123z−z 与 z 之间的阴影面积 = 0.6102

拖动 z，使标准正态曲线下 −z 与 z 之间的阴影面积为 0.6102。求 z，保留两位小数。

A = 0.6102
z =
2.正态分布困难
35455565758595分顶部 70%

考试成绩 服从正态分布，均值为 65 分，标准差为 10 分。拖动截断值，使阴影的前 70% 位于其右侧。求截断值 x。

μ = 65 分σ = 10 分70%
x = 分
3.置信区间中等
n = 30, s = 8.5L = ?Ux̄ = 96E99%

一个包含 30 个个体的样本，均值为 96，标准差 s = 8.5。总体近似服从正态分布。 求均值的 99% 置信区间的下限。

n = 30x̄ = 96s = 8.599%t(29) = 2.756
下限 =
4.置信区间困难
σ = 35, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 0.590%

总体标准差为 35。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 90% 置信区间的误差范围不超过 0.5？

σ = 35E = 0.590%
n =
5.假设检验与置信区间中等
t −2.13102.131

16 名学生的样本平均分为 57.2，样本标准差为 12。求 H₀: μ = 50 的检验统计量 t。

μ₀ = 50x̄ = 57.2s = 12n = 16
t =
6.假设检验与置信区间困难
σ = 8, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 1.595%

样本至少要多大，才能使均值的 95% 置信区间的误差范围不超过 1.5？标准差为 8。求最小样本量 n。

σ = 8E = 1.595%
n =
7.线性回归与相关中等
xy21041662683210361244xy5102040

表中给出 6 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。 求皮尔逊相关系数 r。

n = 6
r =
8.线性回归与相关困难
xy24345866486410681281xy510406080x = 9

表中给出 6 对观测值 x = 学习小时数 和 y = 考试成绩。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 预测 x = 9 时的 ŷ。

n = 6x = 9
ŷ =
9.卡方检验中等
是否合计男性4357100女性4753100合计90110200

列联表给出了观测频数。计算行变量与列变量独立性检验的卡方统计量 χ²。不使用连续性校正。

N = 2002 × 2
χ² =
10.卡方检验困难
dfα = 0.05α = 0.0113.8416.63525.9919.21037.81511.34549.48813.277511.07015.086612.59216.812714.06718.475815.50720.090916.91921.6661018.30723.209

对一个 2 行 6 列（不含合计）的列联表进行卡方独立性检验。 利用表格，求显著性水平 α = 0.05 下的临界值 χ²crit。

α = 0.05
χ²crit =

3溶液

1.正态分布

答案: z = 0.86

由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。

z 左侧的面积

Φ(z) = (1 + 0.6102)/2 = 0.8051

反向查 z 表

在表中找到 0.8051，读出 z。

z = 0.86

答案

z = 0.86
2.正态分布

答案: x = 59.8 分

由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。

左侧的面积

Φ(z) = 0.3

由表得到的 z

z ≈ −0.52

回到原来的单位

x = 65 − 0.52·10 = 59.8 分

答案

x = 59.8 分
3.置信区间

答案: 下限 = 91.72

均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。

临界值

df = n − 1 = 29, t = 2.756

误差范围

E = 2.756·8.5/√30 = 4.277

区间

96 ± 4.277 → [91.72, 100.3]

答案

下限 = 91.72
4.置信区间

答案: n = 13260

均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。

解出 n

n = (1.645·35/0.5)² = 13260

向上取整

样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。

n = 13260

答案

n = 13260
5.假设检验与置信区间

答案: t = 2.4

均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。

标准误

SE = 12/√16 = 12/4 = 3

检验统计量

t = (57.2 − 50)/3 = 2.4

答案

t = 2.4
t0.025; df = 15 = 2.131

|t| > 2.131，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。

6.假设检验与置信区间

答案: n = 110

均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。

解出 n

n = (1.96·8/1.5)² = 109.3

向上取整

n = 110

答案

n = 110
7.线性回归与相关

答案: r = 0.994

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

均值

x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 164/6 = 27.33

平方和与乘积和

Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 236
Syy = Σ(y − ȳ)² = 805.3

相关系数

r = 236/√(70·805.3) = 0.994

答案

r = 0.994
8.线性回归与相关

答案: ŷ = 69.29

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

均值

x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 378/6 = 63

平方和与乘积和

Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 220

回归直线

b = 220/70 = 3.143
a = 63 − 3.143·7 = 41
ŷ = 41 + 3.143·x

预测

ŷ = 41 + 3.143·9 = 69.29

答案

ŷ = 69.29
9.卡方检验

答案: χ² = 0.3232

卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。

期望频数

男性: 100·90/200 = 45, 100·110/200 = 55
女性: 100·90/200 = 45, 100·110/200 = 55

卡方统计量

χ² = (43 − 45)²/45 + (57 − 55)²/55 + (47 − 45)²/45 + (53 − 55)²/55
χ² = 0.3232

答案

χ² = 0.3232

df = 1。在 α = 0.05 时临界值为 3.841，所以 H₀（独立）不被拒绝。

10.卡方检验

答案: χ²crit = 11.07

卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。

自由度

df = (2 − 1)·(6 − 1) = 5

表

χ²crit(df = 5, α = 0.05) = 11.070

答案

χ²crit = 11.070

若计算出的 χ² 大于该值，则拒绝 H₀。

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