统计学（二）：统计推断：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

置信区间

σ 已知: x̄ ± z·σ/√n
σ 未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量: n = (z·σ/E)², rounded up

方法

在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
求该置信水平下的临界值。
误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
均值的 t 检验: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧: 若 |z| > 1.96 则拒绝 H₀
置信区间: x̄ ± z·σ/√n

方法

写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
与临界值比较，或求出 p 值。
若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

线性回归与相关

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
斜率: b = S_xy/S_xx
截距: a = ȳ − b·x̄
相关系数: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

卡方检验

检验统计量: χ² = Σ(O − E)²/E
拟合优度: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
独立性: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
临界值（α = 0.05）: df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
决策: 若 χ² > χ²_crit，则拒绝 H₀

2练习题

1.正态分布中等

拖动 z，使标准正态曲线下 z 右侧的阴影面积为 0.3594。求 z，保留两位小数。

A = 0.3594

z =

2.正态分布困难

成年男性的身高服从正态分布，均值为 178 cm，标准差为 7 cm。拖动截断值，使阴影的前 5% 位于其右侧。求截断值 x。

μ = 178 cmσ = 7 cm5%

x = cm

3.置信区间中等

基于 50 个观测值且 σ 已知的均值 99% 置信区间，其误差范围为 10.3。如果同一研究改用 450 个观测值，误差范围 E₂ 是多少？

99%n₁ = 50E₁ = 10.3n₂ = 450

E₂ =

4.置信区间困难

总体标准差为 7。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 95% 置信区间的误差范围不超过 2？

σ = 7E = 295%

n =

5.假设检验与置信区间中等

36 名学生的样本平均分为 72，样本标准差为 10。求 H₀: μ = 75 的检验统计量 t。

μ₀ = 75x̄ = 72s = 10n = 36

t =

6.假设检验与置信区间困难

100 次测量的样本均值为 122.2。总体标准差为 8。求均值 90% 置信区间的上限 U。

x̄ = 122.2σ = 8n = 10090%

U =

7.线性回归与相关中等

表中给出 6 对观测值 x = 学习小时数和 y = 考试成绩。求皮尔逊相关系数 r。

n = 6

r =

8.线性回归与相关困难

表中给出 6 对观测值 x = 广告支出 (k€) 和 y = 销售额 (k€)。使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。新得到一个观测值 (8, 61)。求其残差 e = y − ŷ。

n = 6(8, 61)

e =

9.卡方检验中等

列联表给出了观测频数。为进行卡方独立性检验，求单元格“城市，低”的期望频数 E。

行合计 = 41列合计 = 38N = 100

E =

10.卡方检验困难

表中给出了观测频数。在 α = 0.05 下检验两个变量是否独立（不使用连续性校正）。计算检验统计量 χ²，再与表中的临界值比较。

N = 2003 × 2α = 0.05

χ² =

3溶液

1.正态分布

答案: z = 0.36

由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。

z 左侧的面积

Φ(z) = 1 − 0.3594 = 0.6406

反向查 z 表

在表中找到 0.6406，读出 z。

z = 0.36

答案

z = 0.36

2.正态分布

答案: x = 189.5 cm

左侧的面积

Φ(z) = 0.95

由表得到的 z

z ≈ 1.64

回到原来的单位

x = 178 + 1.64·7 = 189.5 cm

答案

x = 189.5 cm

3.置信区间

答案: E₂ = 3.433

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

误差范围之比

E₂/E₁ = (2.576/2.576)·√(50/450) = 0.3333

新的误差范围

E₂ = 10.3·0.3333 = 3.433

答案

E₂ = 3.433

4.置信区间

答案: n = 48

均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。

解出 n

n = (1.96·7/2)² = 47.06

向上取整

样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。

n = 48

答案

n = 48

5.假设检验与置信区间

答案: t = −1.8

均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。

标准误

SE = 10/√36 = 10/6 = 1.667

检验统计量

t = (72 − 75)/1.667 = −1.8

答案

t = −1.8

t_{0.025; df = 35} = 2.03

|t| < 2.03，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。

6.假设检验与置信区间

答案: U = 123.5

误差范围

E = 1.645·8/√100 = 1.316

区间端点

U = 122.2 + 1.316 = 123.5

答案

U = 123.5

7.线性回归与相关

答案: r = 0.9419

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

均值

x̄ = 27/6 = 4.5

ȳ = 391/6 = 65.17

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 77.5

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 386.8

答案

r = 0.9419

8.线性回归与相关

答案: e = 2.167

均值

x̄ = 48/6 = 8

ȳ = 353/6 = 58.83

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 255

回归直线

b = 255/70 = 3.643

a = 58.83 − 3.643·8 = 29.69

ŷ = 29.69 + 3.643·x

预测值

ŷ = 29.69 + 3.643·8 = 58.83

残差

e = 61 − 58.83 = 2.167

答案

e = 2.167

该点位于直线上方。

9.卡方检验

答案: E = 15.58

卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。

期望频数

E = 41·38/100 = 15.58

答案

E = 15.58

10.卡方检验

答案: χ² = 7.194

期望频数

工厂 A: 40, 60

工厂 B: 24, 36

工厂 C: 16, 24

卡方统计量

χ² = (49 − 40)²/40 + (51 − 60)²/60 + (17 − 24)²/24 + (43 − 36)²/36 + (14 − 16)²/16 + (26 − 24)²/24

χ² = 7.194

决策

df = 2, χ²_crit = 5.991

7.194 > 5.991

答案

χ² = 7.194

χ² 高于临界值，所以拒绝 H₀：两个变量看起来是相关的。

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