统计学（二）：统计推断：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

置信区间

σ 已知: x̄ ± z·σ/√n
σ 未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量: n = (z·σ/E)², rounded up

方法

在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
求该置信水平下的临界值。
误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
均值的 t 检验: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧: 若 |z| > 1.96 则拒绝 H₀
置信区间: x̄ ± z·σ/√n

方法

写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
与临界值比较，或求出 p 值。
若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

线性回归与相关

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
斜率: b = S_xy/S_xx
截距: a = ȳ − b·x̄
相关系数: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

卡方检验

检验统计量: χ² = Σ(O − E)²/E
拟合优度: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
独立性: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
临界值（α = 0.05）: df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
决策: 若 χ² > χ²_crit，则拒绝 H₀

2练习题

1.正态分布中等

拖动 z，使标准正态曲线下 −z 与 z 之间的阴影面积为 0.9722。求 z，保留两位小数。

A = 0.9722

z =

2.正态分布困难

一组人中男性的身高 X 与女性的身高 Y相互独立且服从正态分布：X 的均值为 180 cm，标准差为 10 cm，Y 的均值为 170 cm，标准差为 12 cm。求 X 大于 Y 的概率 P。z 取两位小数。

μ_X = 180 cm, σ_X = 10 cmμ_Y = 170 cm, σ_Y = 12 cm

P =

3.置信区间中等

比较两种手机型号的电池续航时间。型号 1：40 部手机，均值 41.5 h，已知标准差 6 h。型号 2：100 部手机，均值 52.5 h，已知标准差 13 h。求 μ₁ − μ₂ 的 90% 置信区间的下限。

n₁ = 40x̄₁ = 41.5 hσ₁ = 6 hn₂ = 100x̄₂ = 52.5 hσ₂ = 13 h90%

下限 = h

4.置信区间困难

总体标准差为 23。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 99% 置信区间的误差范围不超过 2.5？

σ = 23E = 2.599%

n =

5.假设检验与置信区间中等

比较两种教学方法。第 1 组：10 名学生，平均分 99.5，标准差 6.5。第 2 组：11 名学生，平均分 96.7，标准差 3。假设总体方差相等，使用合并方差的两样本 t 检验。取差值为 x̄₁ − x̄₂（第 1 组减第 2 组），求 H₀: μ₁ = μ₂ 的检验统计量 t。

n₁ = 10x̄₁ = 99.5s₁ = 6.5n₂ = 11x̄₂ = 96.7s₂ = 3

t =

6.假设检验与置信区间困难

在 α = 0.01 下的单侧 z 检验，必须以 90% 的功效检测出均值 5 个单位的偏移。标准差为 12。求最小样本量 n。

α = 0.01功效 = 90%δ = 5σ = 12z_α = 2.326z_β = 1.282

n =

7.线性回归与相关中等

表中给出 5 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。求最小二乘直线的决定系数 r²。

n = 5

r² =

8.线性回归与相关困难

表中给出 5 对观测值 x = 广告支出 (k€) 和 y = 销售额 (k€)。使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。新得到一个观测值 (2.5, 37)。求其残差 e = y − ŷ。

n = 5(2.5, 37)

e =

9.卡方检验中等

列联表给出了观测频数。计算行变量与列变量独立性检验的卡方统计量 χ²。不使用连续性校正。

N = 1802 × 3

χ² =

10.卡方检验困难

表中给出了观测频数。在 α = 0.05 下检验两个变量是否独立（不使用连续性校正）。计算检验统计量 χ²，再与表中的临界值比较。

N = 1403 × 2α = 0.05

χ² =

3溶液

1.正态分布

答案: z = 2.2

由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。

z 左侧的面积

Φ(z) = (1 + 0.9722)/2 = 0.9861

反向查 z 表

在表中找到 0.9861，读出 z。

z = 2.20

答案

z = 2.20

2.正态分布

答案: P = 0.7389

正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²，所以 σ = √(σ_X² + σ_Y²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。

差的分布

μ = 180 − 170 = 10 cm, σ = 15.62 cm

标准化

z = (0 − 10)/15.62 = −0.64

概率

P = 1 − Φ(−0.64) = 0.7389

答案

P = 0.7389

3.置信区间

答案: 下限 = −13.65 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

点估计

x̄₁ − x̄₂ = 41.5 − 52.5 = −11

标准误

SE = √(6²/40 + 13²/100) = 1.609

误差范围

E = 1.645·1.609 = 2.647

区间

−11 ± 2.647 → [−13.65, −8.353]

答案

下限 = −13.65 h

区间不包含 0，所以两个均值有显著差异。

4.置信区间

答案: n = 562

均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。

解出 n

n = (2.576·23/2.5)² = 561.7

向上取整

样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。

n = 562

答案

n = 562

5.假设检验与置信区间

答案: t = 1.288

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

合并方差

s_p² = (9·6.5² + 10·3²)/19 = 24.75

s_p = 4.975

标准误

SE = 4.975·√(1/10 + 1/11) = 2.174

检验统计量

t = (99.5 − 96.7)/2.174 = 1.288

答案

t = 1.288

df = 19 时，双侧 5% 的临界值为 2.093；|t| 更小，所以不拒绝 H₀。

6.假设检验与置信区间

答案: n = 75

检验的样本量：在水平 α 下的单侧 z 检验中，要以功效 1 − β 检测出真实偏移 δ，标准误必须满足 δ = (z_α + z_β)·σ/√n，所以 n = ((z_α + z_β)·σ/δ)²，向上取整。

解出 n

n = ((2.326 + 1.282)·12/5)² = 74.98

向上取整

n = 75

答案

n = 75

7.线性回归与相关

答案: r² = 0.988

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

均值

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 92/5 = 18.4

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 96

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 233.2

决定系数

r² = 96²/(40·233.2) = 0.988

答案

r² = 0.988

y 的变异中约有 98.8% 可由该直线解释。

8.线性回归与相关

答案: e = −2.2

均值

x̄ = 20/5 = 4

ȳ = 235/5 = 47

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 52

回归直线

b = 52/10 = 5.2

a = 47 − 5.2·4 = 26.2

ŷ = 26.2 + 5.2·x

预测值

ŷ = 26.2 + 5.2·2.5 = 39.2

残差

e = 37 − 39.2 = −2.2

答案

e = −2.2

该点位于直线下方。

9.卡方检验

答案: χ² = 9.42

卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。

期望频数

白班: 80·36/180 = 16, 80·81/180 = 36, 80·63/180 = 28

夜班: 100·36/180 = 20, 100·81/180 = 45, 100·63/180 = 35

卡方统计量

χ² = (21 − 16)²/16 + (26 − 36)²/36 + (33 − 28)²/28 + (15 − 20)²/20 + (55 − 45)²/45 + (30 − 35)²/35

χ² = 9.42

答案

χ² = 9.42

df = 2。在 α = 0.05 时临界值为 5.991，所以 H₀（独立）被拒绝。

10.卡方检验

答案: χ² = 5.1

期望频数

工厂 A: 20, 20

工厂 B: 20, 20

工厂 C: 30, 30

卡方统计量

χ² = (26 − 20)²/20 + (14 − 20)²/20 + (17 − 20)²/20 + (23 − 20)²/20 + (27 − 30)²/30 + (33 − 30)²/30

χ² = 5.1

决策

df = 2, χ²_crit = 5.991

5.1 < 5.991

答案

χ² = 5.1

χ² 低于临界值，所以不拒绝 H₀：没有显著证据表明两者相关。

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