正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
统计学（二）：统计推断：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
卡方检验
- 检验统计量
- χ² = Σ(O − E)²/E
- 拟合优度
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- 独立性
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- 临界值（α = 0.05）
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- 决策
- 若 χ² > χ²crit，则拒绝 H0
2练习题
1.正态分布中等
螺栓的质量相互独立，服从均值 40 g、标准差 1.2 g 的正态分布。求其中 9 个的总质量超过 358.2 g 的概率 P。z 取两位小数。
μ = 40 gσ = 1.2 gn = 9> 358.2 g
P =
2.正态分布困难
智商分数服从正态分布，均值为 100 分，标准差为 15 分。求数值 x，使得有 95% 的数据低于它（第 95 百分位数）。
μ = 100σ = 15P = 95%
x = 分
3.置信区间中等
一个包含 8 个个体的样本，均值为 59，标准差 s = 17.5。总体近似服从正态分布。 求均值的 99% 置信区间的上限。
n = 8x̄ = 59s = 17.599%t(7) = 3.499
上限 =
4.置信区间困难
一项预研究表明，约有 0.8 的产品有缺陷。 必须检验多少件产品 n，才能使比例的 90% 置信区间的误差范围不超过 0.03？
p ≈ 0.8E = 0.0390%
n =
5.假设检验与置信区间中等
比较两种教学方法。第 1 组：7 名学生，平均分 24，标准差 5.5。第 2 组：5 名学生，平均分 18.5，标准差 5.5。假设总体方差相等，使用合并方差的两样本 t 检验。取差值为 x̄₁ − x̄₂（第 1 组减第 2 组），求 H₀: μ₁ = μ₂ 的检验统计量 t。
n₁ = 7x̄₁ = 24s₁ = 5.5n₂ = 5x̄₂ = 18.5s₂ = 5.5
t =
6.假设检验与置信区间困难
在 α = 0.10 下，用容量为 100 的样本对 H₀: μ = 200 与 H₁: μ > 200 进行单侧 z 检验；已知标准差为 10。实际上均值为 201.6。 求第二类错误的概率 β，以百分比表示。
μ₀ = 200μ = 201.6σ = 10n = 100α = 0.10
β = %
7.线性回归与相关中等
表中给出 6 对观测值 x = 车龄（年） 和 y = 价格 (k€)。 求最小二乘直线的决定系数 r²。
n = 6
r² =
8.线性回归与相关困难
表中给出 5 对观测值 x = 学习小时数 和 y = 考试成绩。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 x 取何值 x 时，直线预测 ŷ = 50？
n = 5ŷ = 50
x =
9.卡方检验中等
列联表给出了观测频数。计算行变量与列变量独立性检验的卡方统计量 χ²。不使用连续性校正。
N = 1802 × 3
χ² =
10.卡方检验困难
一个卡方拟合优度检验将 4 个类别的观测频数与完全给定的期望比例进行比较（没有由数据估计的参数）。 利用表格，求显著性水平 α = 0.05 下的临界值 χ²crit。
α = 0.05
χ²crit =
3溶液
1.正态分布
答案: P = 0.6915
正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μX ± μY。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σX² + σY²，所以 σ = √(σX² + σY²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。
总和的分布
μT = 360 g, σT = 1.2·√9 = 3.6 g
标准化
z = (358.2 − 360)/3.6 = −0.5
概率
P = 1 − Φ(−0.5) = 0.6915
答案
P = 0.6915
2.正态分布
答案: x = 124.7 分
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
该百分位数对应的 z
Φ(z) = 0.95 → z = 1.645
换算回 x
x = 100 + 1.645·15 = 124.67 分
答案
x = 124.67 分
3.置信区间
答案: 上限 = 80.65
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
临界值
df = n − 1 = 7, t = 3.499
误差范围
E = 3.499·17.5/√8 = 21.65
区间
59 ± 21.65 → [37.35, 80.65]
答案
上限 = 80.65
4.置信区间
答案: n = 482
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.
解出 n
n = 1.645²·0.8·0.2/0.03² = 481.1
向上取整
n = 482
答案
n = 482
5.假设检验与置信区间
答案: t = 1.708
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
合并方差
sp² = (6·5.5² + 4·5.5²)/10 = 30.25
sp = 5.5
标准误
SE = 5.5·√(1/7 + 1/5) = 3.22
检验统计量
t = (24 − 18.5)/3.22 = 1.708
答案
t = 1.708
df = 10 时，双侧 5% 的临界值为 2.228；|t| 更小，所以不拒绝 H₀。
6.假设检验与置信区间
答案: β = 37.52 %
检验功效：功效 = 1 − β，是 H₀ 为假时拒绝 H₀ 的概率。由 μ₀ 和 z_α 求出临界值 x̄c，再用真实均值计算落在 x̄c 以外的概率：z = (x̄c − μ)/(σ/√n)。
临界样本均值
SE = 10/√100 = 1
x̄c = 200 + 1.282·1 = 201.3
真实均值下的 z
z = (201.3 − 201.6)/1 = −0.318
第二类错误
功效 = P(Z > −0.318) = 62.48%
β = 100% − 62.48% = 37.52%
答案
β = 37.52%
7.线性回归与相关
答案: r² = 0.9815
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 21/6 = 3.5
ȳ = 129/6 = 21.5
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −40.5
Syy = Σ(y − ȳ)² = 95.5
决定系数
r² = −40.5²/(17.5·95.5) = 0.9815
答案
r² = 0.9815
y 的变异中约有 98.15% 可由该直线解释。
8.线性回归与相关
答案: x = 3.556
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 235/5 = 47
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 54
回归直线
b = 54/10 = 5.4
a = 47 − 5.4·3 = 30.8
ŷ = 30.8 + 5.4·x
解出 x
x = (50 − 30.8)/5.4 = 3.556
答案
x = 3.556
9.卡方检验
答案: χ² = 16.14
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
学生: 120·45/180 = 30, 120·63/180 = 42, 120·72/180 = 48
教职工: 60·45/180 = 15, 60·63/180 = 21, 60·72/180 = 24
卡方统计量
χ² = (24 − 30)²/30 + (54 − 42)²/42 + (42 − 48)²/48 + (21 − 15)²/15 + (9 − 21)²/21 + (30 − 24)²/24
χ² = 16.14
答案
χ² = 16.14
df = 2。在 α = 0.05 时临界值为 5.991，所以 H₀（独立）被拒绝。
10.卡方检验
答案: χ²crit = 7.815
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
自由度
df = 4 − 1 = 3
表
χ²crit(df = 3, α = 0.05) = 7.815
答案
χ²crit = 7.815
若计算出的 χ² 大于该值，则拒绝 H₀。
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