正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
统计学（二）：统计推断：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
卡方检验
- 检验统计量
- χ² = Σ(O − E)²/E
- 拟合优度
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- 独立性
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- 临界值（α = 0.05）
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- 决策
- 若 χ² > χ²crit，则拒绝 H0
2练习题
1.正态分布中等
水泥袋的质量相互独立，服从均值 25 kg、标准差 0.5 kg 的正态分布。求其中 8 个的总质量超过 197.9 kg 的概率 P。z 取两位小数。
μ = 25 kgσ = 0.5 kgn = 8> 197.9 kg
P =
2.正态分布困难
考试成绩 服从正态分布，均值为 65 分，标准差为 10 分。拖动截断值，使阴影的前 25% 位于其右侧。求截断值 x。
μ = 65 分σ = 10 分25%
x = 分
3.置信区间中等
测量 20 名患者治疗前后的血压。差值 d = 治疗前 − 治疗后 (mmHg) 的均值为 2.6，标准差为 5.3。 求平均差值的 95% 置信区间的下限。
n = 20d̄ = 2.6sd = 5.395%t(19) = 2.093
下限 = mmHg
4.置信区间困难
总体标准差为 22。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 95% 置信区间的误差范围不超过 3？
σ = 22E = 395%
n =
5.假设检验与置信区间中等
据称某总体的均值为 100；已知总体标准差为 20。一个含 25 个观测值的随机样本均值为 92.48。检验 H₀: μ = 100 对 H₁: μ < 100。求 p 值 p。
μ₀ = 100σ = 20n = 25x̄ = 92.48H₁: μ < μ₀
p =
6.假设检验与置信区间困难
在 α = 0.01 下，用容量为 36 的样本对 H₀: μ = 50 与 H₁: μ < 50 进行单侧 z 检验；已知标准差为 15。实际上均值为 40.75。 求该检验的功效 1 − β，以百分比表示。
μ₀ = 50μ = 40.75σ = 15n = 36α = 0.01
1 − β = %
7.线性回归与相关中等
表中给出 6 对观测值 x = 学习小时数 和 y = 考试成绩。 求最小二乘直线的决定系数 r²。
n = 6
r² =
8.线性回归与相关困难
表中给出 6 对观测值 x = 车龄（年） 和 y = 价格 (k€)。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 x 取何值 x 时，直线预测 ŷ = 26？
n = 6ŷ = 26
x =
9.卡方检验中等
列联表给出了观测频数。计算行变量与列变量独立性检验的卡方统计量 χ²。不使用连续性校正。
N = 1602 × 3
χ² =
10.卡方检验困难
一个卡方拟合优度检验将 6 个类别的观测频数与完全给定的期望比例进行比较（没有由数据估计的参数）。 该检验的自由度 df 是多少？
k = 6
df =
3溶液
1.正态分布
答案: P = 0.9306
正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μX ± μY。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σX² + σY²，所以 σ = √(σX² + σY²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。
总和的分布
μT = 200 kg, σT = 0.5·√8 = 1.414 kg
标准化
z = (197.9 − 200)/1.414 = −1.48
概率
P = 1 − Φ(−1.48) = 0.9306
答案
P = 0.9306
2.正态分布
答案: x = 71.7 分
由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。
左侧的面积
Φ(z) = 0.75
由表得到的 z
z ≈ 0.67
回到原来的单位
x = 65 + 0.67·10 = 71.7 分
答案
x = 71.7 分
3.置信区间
答案: 下限 = 0.1196 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
临界值
df = 19, t = 2.093
误差范围
E = 2.093·5.3/√20 = 2.48
区间
2.6 ± 2.48 → [0.1196, 5.08]
答案
下限 = 0.1196 mmHg
4.置信区间
答案: n = 207
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
解出 n
n = (1.96·22/3)² = 206.6
向上取整
样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。
n = 207
答案
n = 207
5.假设检验与置信区间
答案: p = 0.03005
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
检验统计量
SE = σ/√n = 20/√25 = 4
z = (92.48 − 100)/4 = −1.88
尾部面积
Φ(1.88) = 0.9699
1 − Φ(1.88) = 0.0301
p 值
p = 0.03005
答案
p = 0.03005
p ≤ 0.05，所以在 5% 水平下拒绝 H₀。
6.假设检验与置信区间
答案: 1 − β = 91.53 %
检验功效：功效 = 1 − β，是 H₀ 为假时拒绝 H₀ 的概率。由 μ₀ 和 z_α 求出临界值 x̄c，再用真实均值计算落在 x̄c 以外的概率：z = (x̄c − μ)/(σ/√n)。
临界样本均值
SE = 15/√36 = 2.5
x̄c = 50 − 2.326·2.5 = 44.19
真实均值下的 z
z = (44.19 − 40.75)/2.5 = 1.374
功率
功效 = P(Z < 1.374) = 91.53%
1 − β = 91.53%
答案
1 − β = 91.53%
7.线性回归与相关
答案: r² = 0.6266
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 27/6 = 4.5
ȳ = 351/6 = 58.5
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 36.5
Syy = Σ(y − ȳ)² = 121.5
决定系数
r² = 36.5²/(17.5·121.5) = 0.6266
答案
r² = 0.6266
y 的变异中约有 62.66% 可由该直线解释。
8.线性回归与相关
答案: x = 1.631
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 21/6 = 3.5
ȳ = 123/6 = 20.5
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −51.5
回归直线
b = −51.5/17.5 = −2.943
a = 20.5 − (−2.943)·3.5 = 30.8
ŷ = 30.8 − 2.943·x
解出 x
x = (26 − 30.8)/(−2.943) = 1.631
答案
x = 1.631
9.卡方检验
答案: χ² = 7.348
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
白班: 100·24/160 = 15, 100·64/160 = 40, 100·72/160 = 45
夜班: 60·24/160 = 9, 60·64/160 = 24, 60·72/160 = 27
卡方统计量
χ² = (16 − 15)²/15 + (32 − 40)²/40 + (52 − 45)²/45 + (8 − 9)²/9 + (32 − 24)²/24 + (20 − 27)²/27
χ² = 7.348
答案
χ² = 7.348
df = 2。在 α = 0.05 时临界值为 5.991，所以 H₀（独立）被拒绝。
10.卡方检验
答案: df = 5
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
自由度
df = 6 − 1 = 5
答案
df = 5
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