正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
统计学（二）：统计推断：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
卡方检验
- 检验统计量
- χ² = Σ(O − E)²/E
- 拟合优度
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- 独立性
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- 临界值（α = 0.05）
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- 决策
- 若 χ² > χ²crit，则拒绝 H0
2练习题
1.正态分布中等
袋装重量服从正态分布，均值为 250 g，标准差为 5 g。介于 242.75 和 259.25 g 之间的比例是多少？P 以小数表示。
μ = 250σ = 5x1 = 242.75x2 = 259.25
P =
2.正态分布困难
智商分数服从正态分布，均值为 100 分，标准差为 15 分。求数值 x，使得有 25% 的数据低于它（第 25 百分位数）。
μ = 100σ = 15P = 25%
x = 分
3.置信区间中等
比较两种手机型号的电池续航时间。型号 1：40 部手机，均值 55.5 h，已知标准差 14 h。型号 2：40 部手机，均值 63.5 h，已知标准差 13 h。 求 μ₁ − μ₂ 的 99% 置信区间的误差范围 E。
n₁ = 40x̄₁ = 55.5 hσ₁ = 14 hn₂ = 40x̄₂ = 63.5 hσ₂ = 13 h99%
E = h
4.置信区间困难
总体标准差为 13。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 99% 置信区间的误差范围不超过 3？
σ = 13E = 399%
n =
5.假设检验与置信区间中等
比较两种教学方法。第 1 组：5 名学生，平均分 90，标准差 2.5。第 2 组：17 名学生，平均分 92，标准差 2。假设总体方差相等，使用合并方差的两样本 t 检验。取差值为 x̄₁ − x̄₂（第 1 组减第 2 组），求 H₀: μ₁ = μ₂ 的检验统计量 t。
n₁ = 5x̄₁ = 90s₁ = 2.5n₂ = 17x̄₂ = 92s₂ = 2
t =
6.假设检验与置信区间困难
在 α = 0.05 下的单侧 z 检验，必须以 95% 的功效检测出均值 3 个单位的偏移。标准差为 10。求最小样本量 n。
α = 0.05功效 = 95%δ = 3σ = 10zα = 1.645zβ = 1.645
n =
7.线性回归与相关中等
表中给出 6 对观测值 x = 广告支出 (k€) 和 y = 销售额 (k€)。 求最小二乘直线的决定系数 r²。
n = 6
r² =
8.线性回归与相关困难
表中给出 6 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 x 取何值 x 时，直线预测 ŷ = 89？
n = 6ŷ = 89
x =
9.卡方检验中等
列联表给出了观测频数。计算行变量与列变量独立性检验的卡方统计量 χ²。不使用连续性校正。
N = 1802 × 2
χ² =
10.卡方检验困难
一个卡方拟合优度检验将 5 个类别的观测频数与完全给定的期望比例进行比较（没有由数据估计的参数）。 该检验的自由度 df 是多少？
k = 5
df =
3溶液
1.正态分布
答案: P = 0.8943
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
z 分数
z₁ = (242.75 − 250)/5 = −1.45
z₂ = (259.25 − 250)/5 = 1.85
中间面积
P = Φ(1.85) − Φ(−1.45) = 0.9678 − 0.07353 = 0.8943
答案
P = 0.8943
2.正态分布
答案: x = 89.88 分
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
该百分位数对应的 z
Φ(z) = 0.25 → z = −0.6745
换算回 x
x = 100 + −0.6745·15 = 89.88 分
答案
x = 89.88 分
3.置信区间
答案: E = 7.781 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
点估计
x̄₁ − x̄₂ = 55.5 − 63.5 = −8
标准误
SE = √(14²/40 + 13²/40) = 3.021
误差范围
E = 2.576·3.021 = 7.781
答案
E = 7.781 h
区间不包含 0，所以两个均值有显著差异。
4.置信区间
答案: n = 125
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
解出 n
n = (2.576·13/3)² = 124.6
向上取整
样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。
n = 125
答案
n = 125
5.假设检验与置信区间
答案: t = −1.864
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
合并方差
sp² = (4·2.5² + 16·2²)/20 = 4.45
sp = 2.11
标准误
SE = 2.11·√(1/5 + 1/17) = 1.073
检验统计量
t = (90 − 92)/1.073 = −1.864
答案
t = −1.864
df = 20 时，双侧 5% 的临界值为 2.086；|t| 更小，所以不拒绝 H₀。
6.假设检验与置信区间
答案: n = 121
检验的样本量：在水平 α 下的单侧 z 检验中，要以功效 1 − β 检测出真实偏移 δ，标准误必须满足 δ = (z_α + z_β)·σ/√n，所以 n = ((z_α + z_β)·σ/δ)²，向上取整。
解出 n
n = ((1.645 + 1.645)·10/3)² = 120.3
向上取整
n = 121
答案
n = 121
7.线性回归与相关
答案: r² = 0.9836
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 48/6 = 8
ȳ = 471/6 = 78.5
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 437
Syy = Σ(y − ȳ)² = 2774
决定系数
r² = 437²/(70·2774) = 0.9836
答案
r² = 0.9836
y 的变异中约有 98.36% 可由该直线解释。
8.线性回归与相关
答案: x = 25.09
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 126/6 = 21
ȳ = 454/6 = 75.67
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 228
回归直线
b = 228/70 = 3.257
a = 75.67 − 3.257·21 = 7.267
ŷ = 7.267 + 3.257·x
解出 x
x = (89 − 7.267)/3.257 = 25.09
答案
x = 25.09
9.卡方检验
答案: χ² = 6.4
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
男性: 60·90/180 = 30, 60·90/180 = 30
女性: 120·90/180 = 60, 120·90/180 = 60
卡方统计量
χ² = (38 − 30)²/30 + (22 − 30)²/30 + (52 − 60)²/60 + (68 − 60)²/60
χ² = 6.4
答案
χ² = 6.4
df = 1。在 α = 0.05 时临界值为 3.841，所以 H₀（独立）被拒绝。
10.卡方检验
答案: df = 4
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
自由度
df = 5 − 1 = 4
答案
df = 4
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