正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
统计学（二）：统计推断：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
卡方检验
- 检验统计量
- χ² = Σ(O − E)²/E
- 拟合优度
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- 独立性
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- 临界值（α = 0.05）
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- 决策
- 若 χ² > χ²crit，则拒绝 H0
2练习题
1.正态分布中等
箱子的质量相互独立，服从均值 12 kg、标准差 0.8 kg 的正态分布。求其中 6 个的总质量超过 75.9 kg 的概率 P。z 取两位小数。
μ = 12 kgσ = 0.8 kgn = 6> 75.9 kg
P =
2.正态分布困难
成年男性的身高 服从正态分布，均值为 178 cm，标准差为 7 cm。拖动截断值，使阴影的前 5% 位于其右侧。求截断值 x。
μ = 178 cmσ = 7 cm5%
x = cm
3.置信区间中等
一个包含 11 个个体的样本，均值为 61，标准差 s = 3。总体近似服从正态分布。 求均值的 90% 置信区间的上限。
n = 11x̄ = 61s = 390%t(10) = 1.812
上限 =
4.置信区间困难
总体标准差为 23。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 90% 置信区间的误差范围不超过 1？
σ = 23E = 190%
n =
5.假设检验与置信区间中等
36 名学生的样本平均分为 499.1，样本标准差为 4。求 H₀: μ = 500 的检验统计量 t。
μ₀ = 500x̄ = 499.1s = 4n = 36
t =
6.假设检验与置信区间困难
在 α = 0.05 下的单侧 z 检验，必须以 95% 的功效检测出均值 4 个单位的偏移。标准差为 12。求最小样本量 n。
α = 0.05功效 = 95%δ = 4σ = 12zα = 1.645zβ = 1.645
n =
7.线性回归与相关中等
表中给出 6 对观测值 x = 广告支出 (k€) 和 y = 销售额 (k€)。 求最小二乘直线的决定系数 r²。
n = 6
r² =
8.线性回归与相关困难
表中给出 6 对观测值 x = 车龄（年） 和 y = 价格 (k€)。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 x 取何值 x 时，直线预测 ŷ = 25？
n = 6ŷ = 25
x =
9.卡方检验中等
列联表给出了观测频数。为进行卡方独立性检验，求单元格“学生，公交车”的期望频数 E。
行合计 = 45列合计 = 17N = 125
E =
10.卡方检验困难
一个卡方拟合优度检验将 8 个类别的观测频数与完全给定的期望比例进行比较（没有由数据估计的参数）。 该检验的自由度 df 是多少？
k = 8
df =
3溶液
1.正态分布
答案: P = 0.0233
正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μX ± μY。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σX² + σY²，所以 σ = √(σX² + σY²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。
总和的分布
μT = 72 kg, σT = 0.8·√6 = 1.96 kg
标准化
z = (75.9 − 72)/1.96 = 1.99
概率
P = 1 − Φ(1.99) = 0.0233
答案
P = 0.0233
2.正态分布
答案: x = 189.5 cm
由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。
左侧的面积
Φ(z) = 0.95
由表得到的 z
z ≈ 1.64
回到原来的单位
x = 178 + 1.64·7 = 189.5 cm
答案
x = 189.5 cm
3.置信区间
答案: 上限 = 62.64
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
临界值
df = n − 1 = 10, t = 1.812
误差范围
E = 1.812·3/√11 = 1.639
区间
61 ± 1.639 → [59.36, 62.64]
答案
上限 = 62.64
4.置信区间
答案: n = 1432
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
解出 n
n = (1.645·23/1)² = 1431
向上取整
样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。
n = 1432
答案
n = 1432
5.假设检验与置信区间
答案: t = −1.35
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
标准误
SE = 4/√36 = 4/6 = 0.6667
检验统计量
t = (499.1 − 500)/0.6667 = −1.35
答案
t = −1.35
t0.025; df = 35 = 2.03
|t| < 2.03，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。
6.假设检验与置信区间
答案: n = 98
检验的样本量：在水平 α 下的单侧 z 检验中，要以功效 1 − β 检测出真实偏移 δ，标准误必须满足 δ = (z_α + z_β)·σ/√n，所以 n = ((z_α + z_β)·σ/δ)²，向上取整。
解出 n
n = ((1.645 + 1.645)·12/4)² = 97.42
向上取整
n = 98
答案
n = 98
7.线性回归与相关
答案: r² = 0.919
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 27/6 = 4.5
ȳ = 211/6 = 35.17
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 72.5
Syy = Σ(y − ȳ)² = 326.8
决定系数
r² = 72.5²/(17.5·326.8) = 0.919
答案
r² = 0.919
y 的变异中约有 91.9% 可由该直线解释。
8.线性回归与相关
答案: x = 1.621
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 21/6 = 3.5
ȳ = 131/6 = 21.83
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −29.5
回归直线
b = −29.5/17.5 = −1.686
a = 21.83 − (−1.686)·3.5 = 27.73
ŷ = 27.73 − 1.686·x
解出 x
x = (25 − 27.73)/(−1.686) = 1.621
答案
x = 1.621
9.卡方检验
答案: E = 6.12
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
E = 45·17/125 = 6.12
答案
E = 6.12
10.卡方检验
答案: df = 7
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
自由度
df = 8 − 1 = 7
答案
df = 7
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-2-inference