统计学（二）：统计推断：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

置信区间

σ 已知: x̄ ± z·σ/√n
σ 未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量: n = (z·σ/E)², rounded up

方法

在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
求该置信水平下的临界值。
误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
均值的 t 检验: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧: 若 |z| > 1.96 则拒绝 H₀
置信区间: x̄ ± z·σ/√n

方法

写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
与临界值比较，或求出 p 值。
若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

线性回归与相关

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
斜率: b = S_xy/S_xx
截距: a = ȳ − b·x̄
相关系数: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

卡方检验

检验统计量: χ² = Σ(O − E)²/E
拟合优度: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
独立性: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
临界值（α = 0.05）: df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
决策: 若 χ² > χ²_crit，则拒绝 H₀

2练习题

1.正态分布中等

拖动 z，使标准正态曲线下 −z 与 z 之间的阴影面积为 0.9451。求 z，保留两位小数。

A = 0.9451

z =

2.正态分布困难

袋装重量服从正态分布，均值为 250 g，标准差为 5 g。拖动截断值，使阴影的后 90% 位于其左侧。求截断值 x。

μ = 250 gσ = 5 g90%

x = g

3.置信区间中等

一个包含 11 个个体的样本，均值为 36.5，标准差 s = 19。总体近似服从正态分布。求均值的 99% 置信区间的下限。

n = 11x̄ = 36.5s = 1999%t(10) = 3.169

下限 =

4.置信区间困难

总体标准差为 34。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 90% 置信区间的误差范围不超过 5？

σ = 34E = 590%

n =

5.假设检验与置信区间中等

25 名学生的样本平均分为 95.6，样本标准差为 10。求 H₀: μ = 100 的检验统计量 t。

μ₀ = 100x̄ = 95.6s = 10n = 25

t =

6.假设检验与置信区间困难

在 α = 0.01 下，用容量为 25 的样本对 H₀: μ = 500 与 H₁: μ > 500 进行单侧 z 检验；已知标准差为 7.5。实际上均值为 502.85。求该检验的功效 1 − β，以百分比表示。

μ₀ = 500μ = 502.85σ = 7.5n = 25α = 0.01

1 − β = %

7.线性回归与相关中等

表中给出 6 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。已给出它们的各项和。由这些和求皮尔逊相关系数 r。

n = 6Σx = 138Σy = 605Σx² = 3244Σy² = 63213Σxy = 14294

r =

8.线性回归与相关困难

表中给出 5 对观测值 x = 车龄（年）和 y = 价格 (k€)。使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。新得到一个观测值 (3.5, 22)。求其残差 e = y − ŷ。

n = 5(3.5, 22)

e =

9.卡方检验中等

列联表给出了观测频数。计算行变量与列变量独立性检验的卡方统计量 χ²。不使用连续性校正。

N = 2202 × 2

χ² =

10.卡方检验困难

表中给出了观测频数。在 α = 0.01 下检验两个变量是否独立（不使用连续性校正）。计算检验统计量 χ²，再与表中的临界值比较。

N = 2803 × 2α = 0.01

χ² =

3溶液

1.正态分布

答案: z = 1.92

由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。

z 左侧的面积

Φ(z) = (1 + 0.9451)/2 = 0.9726

反向查 z 表

在表中找到 0.9726，读出 z。

z = 1.92

答案

z = 1.92

2.正态分布

答案: x = 256.4 g

左侧的面积

Φ(z) = 0.9

由表得到的 z

z ≈ 1.28

回到原来的单位

x = 250 + 1.28·5 = 256.4 g

答案

x = 256.4 g

3.置信区间

答案: 下限 = 18.35

均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。

临界值

df = n − 1 = 10, t = 3.169

误差范围

E = 3.169·19/√11 = 18.15

区间

36.5 ± 18.15 → [18.35, 54.65]

答案

下限 = 18.35

4.置信区间

答案: n = 126

解出 n

n = (1.645·34/5)² = 125.1

向上取整

样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。

n = 126

答案

n = 126

5.假设检验与置信区间

答案: t = −2.2

均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。

标准误

SE = 10/√25 = 10/5 = 2

检验统计量

t = (95.6 − 100)/2 = −2.2

答案

t = −2.2

t_{0.025; df = 24} = 2.064

|t| > 2.064，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。

6.假设检验与置信区间

答案: 1 − β = 33.51 %

检验功效：功效 = 1 − β，是 H₀ 为假时拒绝 H₀ 的概率。由 μ₀ 和 z_α 求出临界值 x̄c，再用真实均值计算落在 x̄c 以外的概率：z = (x̄c − μ)/(σ/√n)。

临界样本均值

SE = 7.5/√25 = 1.5

x̄_c = 500 + 2.326·1.5 = 503.5

真实均值下的 z

z = (503.5 − 502.85)/1.5 = 0.426

功率

功效 = P(Z > 0.426) = 33.51%

1 − β = 33.51%

答案

1 − β = 33.51%

7.线性回归与相关

答案: r = 0.9638

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

中心化后的和

S_xy = 14294 − 138·605/6 = 379

S_xx = 3244 − 138²/6 = 70

S_yy = 63213 − 605²/6 = 2209

答案

r = 0.9638

8.线性回归与相关

答案: e = 2.75

均值

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 104/5 = 20.8

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −31

回归直线

b = −31/10 = −3.1

a = 20.8 − (−3.1)·3 = 30.1

ŷ = 30.1 − 3.1·x

预测值

ŷ = 30.1 + (−3.1)·3.5 = 19.25

残差

e = 22 − 19.25 = 2.75

答案

e = 2.75

该点位于直线上方。

9.卡方检验

答案: χ² = 3.743

卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。

期望频数

新药: 120·88/220 = 48, 120·132/220 = 72

安慰剂: 100·88/220 = 40, 100·132/220 = 60

卡方统计量

χ² = (41 − 48)²/48 + (79 − 72)²/72 + (47 − 40)²/40 + (53 − 60)²/60

χ² = 3.743

答案

χ² = 3.743

df = 1。在 α = 0.05 时临界值为 3.841，所以 H₀（独立）不被拒绝。

10.卡方检验

答案: χ² = 17.43

期望频数

18–30 岁: 48, 32

31–50 岁: 60, 40

51 岁及以上: 60, 40

卡方统计量

χ² = (33 − 48)²/48 + (47 − 32)²/32 + (71 − 60)²/60 + (29 − 40)²/40 + (64 − 60)²/60 + (36 − 40)²/40

χ² = 17.43

决策

df = 2, χ²_crit = 9.210

17.43 > 9.210

答案

χ² = 17.43

χ² 高于临界值，所以拒绝 H₀：两个变量看起来是相关的。

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