正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
统计学（二）：统计推断：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
卡方检验
- 检验统计量
- χ² = Σ(O − E)²/E
- 拟合优度
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- 独立性
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- 临界值（α = 0.05）
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- 决策
- 若 χ² > χ²crit，则拒绝 H0
2练习题
1.正态分布中等
电池寿命服从正态分布，均值为 500 h，标准差为 40 h。介于 436 和 522 h 之间的比例是多少？P 以小数表示。
μ = 500σ = 40x1 = 436x2 = 522
P =
2.正态分布困难
配送时间服从正态分布，均值为 32 min，标准差为 6 min。求数值 x，使得有 10% 的数据低于它（第 10 百分位数）。
μ = 32σ = 6P = 10%
x = min
3.置信区间中等
比较两种手机型号的电池续航时间。型号 1：30 部手机，均值 112 h，已知标准差 18 h。型号 2：80 部手机，均值 109 h，已知标准差 12 h。 求 μ₁ − μ₂ 的 99% 置信区间的下限。
n₁ = 30x̄₁ = 112 hσ₁ = 18 hn₂ = 80x̄₂ = 109 hσ₂ = 12 h99%
下限 = h
4.置信区间困难
总体标准差为 23。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 99% 置信区间的误差范围不超过 2？
σ = 23E = 299%
n =
5.假设检验与置信区间中等
100 名学生的样本平均分为 50.85，样本标准差为 5。求 H₀: μ = 50 的检验统计量 t。
μ₀ = 50x̄ = 50.85s = 5n = 100
t =
6.假设检验与置信区间困难
样本至少要多大，才能使均值的 99% 置信区间的误差范围不超过 0.5？标准差为 5。求最小样本量 n。
σ = 5E = 0.599%
n =
7.线性回归与相关中等
表中给出 6 对观测值 x = 广告支出 (k€) 和 y = 销售额 (k€)。 求皮尔逊相关系数 r。
n = 6
r =
8.线性回归与相关困难
表中给出 5 对观测值 x = 车龄（年） 和 y = 价格 (k€)。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 预测 x = 1.5 时的 ŷ。
n = 5x = 1.5
ŷ =
9.卡方检验中等
列联表给出了观测频数。为进行卡方独立性检验，求单元格“城市，低”的期望频数 E。
行合计 = 68列合计 = 56N = 176
E =
10.卡方检验困难
对一个 4 行 4 列（不含合计）的列联表进行卡方独立性检验。 利用表格，求显著性水平 α = 0.05 下的临界值 χ²crit。
α = 0.05
χ²crit =
3溶液
1.正态分布
答案: P = 0.654
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
z 分数
z₁ = (436 − 500)/40 = −1.6
z₂ = (522 − 500)/40 = 0.55
中间面积
P = Φ(0.55) − Φ(−1.6) = 0.7088 − 0.0548 = 0.654
答案
P = 0.654
2.正态分布
答案: x = 24.31 min
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
该百分位数对应的 z
Φ(z) = 0.1 → z = −1.282
换算回 x
x = 32 + −1.282·6 = 24.31 min
答案
x = 24.31 min
3.置信区间
答案: 下限 = −6.144 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
点估计
x̄₁ − x̄₂ = 112 − 109 = 3
标准误
SE = √(18²/30 + 12²/80) = 3.55
误差范围
E = 2.576·3.55 = 9.144
区间
3 ± 9.144 → [−6.144, 12.14]
答案
下限 = −6.144 h
区间包含 0，所以数据没有显示出显著差异。
4.置信区间
答案: n = 878
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
解出 n
n = (2.576·23/2)² = 877.6
向上取整
样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。
n = 878
答案
n = 878
5.假设检验与置信区间
答案: t = 1.7
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
标准误
SE = 5/√100 = 5/10 = 0.5
检验统计量
t = (50.85 − 50)/0.5 = 1.7
答案
t = 1.7
t0.025; df = 99 = 1.984
|t| < 1.984，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。
6.假设检验与置信区间
答案: n = 664
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
解出 n
n = (2.576·5/0.5)² = 663.6
向上取整
n = 664
答案
n = 664
7.线性回归与相关
答案: r = 0.9844
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 33/6 = 5.5
ȳ = 360/6 = 60
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 79
Syy = Σ(y − ȳ)² = 368
相关系数
r = 79/√(17.5·368) = 0.9844
答案
r = 0.9844
8.线性回归与相关
答案: ŷ = 21.65
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 94/5 = 18.8
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −19
回归直线
b = −19/10 = −1.9
a = 18.8 − (−1.9)·3 = 24.5
ŷ = 24.5 − 1.9·x
预测
ŷ = 24.5 + (−1.9)·1.5 = 21.65
答案
ŷ = 21.65
9.卡方检验
答案: E = 21.64
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
E = 68·56/176 = 21.64
答案
E = 21.64
10.卡方检验
答案: χ²crit = 16.92
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
自由度
df = (4 − 1)·(4 − 1) = 9
表
χ²crit(df = 9, α = 0.05) = 16.919
答案
χ²crit = 16.919
若计算出的 χ² 大于该值，则拒绝 H₀。
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