正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
统计学（二）：统计推断：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
卡方检验
- 检验统计量
- χ² = Σ(O − E)²/E
- 拟合优度
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- 独立性
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- 临界值（α = 0.05）
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- 决策
- 若 χ² > χ²crit，则拒绝 H0
2练习题
1.正态分布中等
拖动 z，使标准正态曲线下 z 右侧的阴影面积为 0.2005。求 z，保留两位小数。
A = 0.2005
z =
2.正态分布困难
考试成绩服从正态分布，均值为 65 分，标准差为 10 分。求数值 x，使得有 10% 的数据低于它（第 10 百分位数）。
μ = 65σ = 10P = 10%
x = 分
3.置信区间中等
基于 36 个观测值且 σ 已知的均值 95% 置信区间，其误差范围为 9.4。 基于 9 个观测值的 90% 区间，其误差范围 E₂ 是多少？
95%n₁ = 36E₁ = 9.490%n₂ = 9
E₂ =
4.置信区间困难
总体标准差为 25。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 99% 置信区间的误差范围不超过 3？
σ = 25E = 399%
n =
5.假设检验与置信区间中等
49 名学生的样本平均分为 51.71，样本标准差为 5。求 H₀: μ = 50 的检验统计量 t。
μ₀ = 50x̄ = 51.71s = 5n = 49
t =
6.假设检验与置信区间困难
在一项试验中，接受治疗 A 的 120 名患者中有 66 人康复，接受治疗 B 的 200 名患者中有 92 人康复。用合并比例求 H₀: p₁ = p₂ 的检验统计量 z。
x₁ = 66n₁ = 120x₂ = 92n₂ = 200
z =
7.线性回归与相关中等
表中给出 5 对观测值 x = 广告支出 (k€) 和 y = 销售额 (k€)。 求最小二乘直线的决定系数 r²。
n = 5
r² =
8.线性回归与相关困难
表中给出 5 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 新得到一个观测值 (3, 6)。求其残差 e = y − ŷ。
n = 5(3, 6)
e =
9.卡方检验中等
列联表给出了观测频数。计算行变量与列变量独立性检验的卡方统计量 χ²。不使用连续性校正。
N = 2002 × 2
χ² =
10.卡方检验困难
一个卡方拟合优度检验将 4 个类别的观测频数与完全给定的期望比例进行比较（没有由数据估计的参数）。 利用表格，求显著性水平 α = 0.01 下的临界值 χ²crit。
α = 0.01
χ²crit =
3溶液
1.正态分布
答案: z = 0.84
由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。
z 左侧的面积
Φ(z) = 1 − 0.2005 = 0.7995
反向查 z 表
在表中找到 0.7995，读出 z。
z = 0.84
答案
z = 0.84
2.正态分布
答案: x = 52.18 分
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
该百分位数对应的 z
Φ(z) = 0.1 → z = −1.282
换算回 x
x = 65 + −1.282·10 = 52.18 分
答案
x = 52.18 分
3.置信区间
答案: E₂ = 15.78
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
误差范围之比
E₂/E₁ = (1.645/1.96)·√(36/9) = 1.679
新的误差范围
E₂ = 9.4·1.679 = 15.78
答案
E₂ = 15.78
4.置信区间
答案: n = 461
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
解出 n
n = (2.576·25/3)² = 460.8
向上取整
样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。
n = 461
答案
n = 461
5.假设检验与置信区间
答案: t = 2.394
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
标准误
SE = 5/√49 = 5/7 = 0.7143
检验统计量
t = (51.71 − 50)/0.7143 = 2.394
答案
t = 2.394
t0.025; df = 48 = 2.011
|t| > 2.011，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。
6.假设检验与置信区间
答案: z = 1.559
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
样本比例
p̂₁ = 66/120 = 0.55
p̂₂ = 92/200 = 0.46
p̂ = 158/320 = 0.4938
H₀ 下的标准误
SE = √(0.4938·0.5062·(1/120 + 1/200)) = 0.05773
检验统计量
z = (0.55 − 0.46)/0.05773 = 1.559
答案
z = 1.559
|z| < 1.96，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。
7.线性回归与相关
答案: r² = 0.8971
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 269/5 = 53.8
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 122
Syy = Σ(y − ȳ)² = 414.8
决定系数
r² = 122²/(40·414.8) = 0.8971
答案
r² = 0.8971
y 的变异中约有 89.71% 可由该直线解释。
8.线性回归与相关
答案: e = −5.2
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 107/5 = 21.4
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 136
回归直线
b = 136/40 = 3.4
a = 21.4 − 3.4·6 = 1
ŷ = 1 + 3.4·x
预测值
ŷ = 1 + 3.4·3 = 11.2
残差
e = 6 − 11.2 = −5.2
答案
e = −5.2
该点位于直线下方。
9.卡方检验
答案: χ² = 0.7813
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
吸烟者: 120·80/200 = 48, 120·120/200 = 72
不吸烟者: 80·80/200 = 32, 80·120/200 = 48
卡方统计量
χ² = (51 − 48)²/48 + (69 − 72)²/72 + (29 − 32)²/32 + (51 − 48)²/48
χ² = 0.7813
答案
χ² = 0.7813
df = 1。在 α = 0.05 时临界值为 3.841，所以 H₀（独立）不被拒绝。
10.卡方检验
答案: χ²crit = 11.35
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
自由度
df = 4 − 1 = 3
表
χ²crit(df = 3, α = 0.01) = 11.345
答案
χ²crit = 11.345
若计算出的 χ² 大于该值，则拒绝 H₀。
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