正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
统计学（二）：统计推断：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
卡方检验
- 检验统计量
- χ² = Σ(O − E)²/E
- 拟合优度
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- 独立性
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- 临界值（α = 0.05）
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- 决策
- 若 χ² > χ²crit，则拒绝 H0
2练习题
1.正态分布中等
考试成绩服从正态分布，均值为 65 分，标准差为 10 分。介于 45 和 77.5 分 之间的比例是多少？P 以小数表示。
μ = 65σ = 10x1 = 45x2 = 77.5
P =
2.正态分布困难
电池寿命 服从正态分布，均值为 500 h，标准差为 40 h。拖动截断值，使阴影的前 60% 位于其右侧。求截断值 x。
μ = 500 hσ = 40 h60%
x = h
3.置信区间中等
一个包含 30 个个体的样本，均值为 13，标准差 s = 11.5。总体近似服从正态分布。 求均值的 95% 置信区间的上限。
n = 30x̄ = 13s = 11.595%t(29) = 2.045
上限 =
4.置信区间困难
总体标准差为 23。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 95% 置信区间的误差范围不超过 4？
σ = 23E = 495%
n =
5.假设检验与置信区间中等
7 名员工在培训课程前后各参加一次打字测试。记录每人的差值 d = 培训后 − 培训前（每分钟字数）。平均差值为 5.78，差值的标准差为 5.1。求 H₀: μd = 0 的配对检验统计量 t。
n = 7d̄ = 5.78sd = 5.1
t =
6.假设检验与置信区间困难
在 α = 0.01 下的单侧 z 检验，必须以 90% 的功效检测出均值 5 个单位的偏移。标准差为 18。求最小样本量 n。
α = 0.01功效 = 90%δ = 5σ = 18zα = 2.326zβ = 1.282
n =
7.线性回归与相关中等
表中给出 5 对观测值 x = 学习小时数 和 y = 考试成绩。 已给出它们的各项和。由这些和求皮尔逊相关系数 r。
n = 5Σx = 25Σy = 406Σx² = 165Σy² = 34284Σxy = 2258
r =
8.线性回归与相关困难
表中给出 6 对观测值 x = 车龄（年） 和 y = 价格 (k€)。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 新得到一个观测值 (4.5, 9)。求其残差 e = y − ŷ。
n = 6(4.5, 9)
e =
9.卡方检验中等
列联表给出了观测频数。计算行变量与列变量独立性检验的卡方统计量 χ²。不使用连续性校正。
N = 1402 × 3
χ² =
10.卡方检验困难
表中给出了观测频数。在 α = 0.05 下检验两个变量是否独立（不使用连续性校正）。计算检验统计量 χ²，再与表中的临界值比较。
N = 1403 × 2α = 0.05
χ² =
3溶液
1.正态分布
答案: P = 0.8716
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
z 分数
z₁ = (45 − 65)/10 = −2
z₂ = (77.5 − 65)/10 = 1.25
中间面积
P = Φ(1.25) − Φ(−2) = 0.8944 − 0.02275 = 0.8716
答案
P = 0.8716
2.正态分布
答案: x = 490 h
由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。
左侧的面积
Φ(z) = 0.4
由表得到的 z
z ≈ −0.25
回到原来的单位
x = 500 − 0.25·40 = 490 h
答案
x = 490 h
3.置信区间
答案: 上限 = 17.29
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
临界值
df = n − 1 = 29, t = 2.045
误差范围
E = 2.045·11.5/√30 = 4.294
区间
13 ± 4.294 → [8.706, 17.29]
答案
上限 = 17.29
4.置信区间
答案: n = 128
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
解出 n
n = (1.96·23/4)² = 127
向上取整
样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。
n = 128
答案
n = 128
5.假设检验与置信区间
答案: t = 2.999
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
平均差值的标准误
SE = 5.1/√7 = 1.928
检验统计量
t = 5.78/1.928 = 2.999
答案
t = 2.999
df = 6 时，双侧 5% 的临界值为 2.447；|t| 更大，所以拒绝 H₀。
6.假设检验与置信区间
答案: n = 169
检验的样本量：在水平 α 下的单侧 z 检验中，要以功效 1 − β 检测出真实偏移 δ，标准误必须满足 δ = (z_α + z_β)·σ/√n，所以 n = ((z_α + z_β)·σ/δ)²，向上取整。
解出 n
n = ((2.326 + 1.282)·18/5)² = 168.7
向上取整
n = 169
答案
n = 169
7.线性回归与相关
答案: r = 0.9934
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
中心化后的和
Sxy = 2258 − 25·406/5 = 228
Sxx = 165 − 25²/5 = 40
Syy = 34284 − 406²/5 = 1317
相关系数
r = 228/√(40·1317) = 0.9934
答案
r = 0.9934
8.线性回归与相关
答案: e = −4.671
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 21/6 = 3.5
ȳ = 99/6 = 16.5
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −49.5
回归直线
b = −49.5/17.5 = −2.829
a = 16.5 − (−2.829)·3.5 = 26.4
ŷ = 26.4 − 2.829·x
预测值
ŷ = 26.4 + (−2.829)·4.5 = 13.67
残差
e = 9 − 13.67 = −4.671
答案
e = −4.671
该点位于直线下方。
9.卡方检验
答案: χ² = 5.42
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
白班: 60·42/140 = 18, 60·42/140 = 18, 60·56/140 = 24
夜班: 80·42/140 = 24, 80·42/140 = 24, 80·56/140 = 32
卡方统计量
χ² = (19 − 18)²/18 + (12 − 18)²/18 + (29 − 24)²/24 + (23 − 24)²/24 + (30 − 24)²/24 + (27 − 32)²/32
χ² = 5.42
答案
χ² = 5.42
df = 2。在 α = 0.05 时临界值为 5.991，所以 H₀（独立）不被拒绝。
10.卡方检验
答案: χ² = 5.694
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
生产线 1: 24, 16
生产线 2: 36, 24
生产线 3: 24, 16
卡方统计量
χ² = (30 − 24)²/24 + (10 − 16)²/16 + (34 − 36)²/36 + (26 − 24)²/24 + (20 − 24)²/24 + (20 − 16)²/16
χ² = 5.694
决策
df = 2, χ²crit = 5.991
5.694 < 5.991
答案
χ² = 5.694
χ² 低于临界值，所以不拒绝 H₀：没有显著证据表明两者相关。
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