统计学（二）：统计推断：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

正态分布

z 分数
z = (x − μ)/σ
小于 x
P(X < x) = Φ(z)
大于 x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间
Φ(z2) − Φ(z1)
百分位数
x = μ + z·σ

方法

  1. 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
  2. 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
  3. 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
  4. 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

置信区间

σ 已知
x̄ ± z·σ/√n
σ 未知
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量
n = (z·σ/E)², rounded up

方法

  1. 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
  2. 求该置信水平下的临界值。
  3. 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
  4. 区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
均值的 t 检验
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧
若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
置信区间
x̄ ± z·σ/√n

方法

  1. 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
  2. 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
  3. 与临界值比较，或求出 p 值。
  4. 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

线性回归与相关

平方和
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
斜率
b = Sxy/Sxx
截距
a = ȳ − b·x̄
相关系数
r = Sxy/√(SxxSyy)
残差
e = y − ŷ

卡方检验

检验统计量
χ² = Σ(O − E)²/E
拟合优度
E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
独立性
E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
临界值（α = 0.05）
df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
决策
若 χ² > χ²crit，则拒绝 H0

2练习题

1.正态分布中等
−3−2−10123zz 右侧的阴影面积 = 0.9713

拖动 z，使标准正态曲线下 z 右侧的阴影面积为 0.9713。求 z，保留两位小数。

A = 0.9713
z =
2.正态分布困难
μ = 65x = ?99%

考试成绩服从正态分布，均值为 65 分，标准差为 10 分。求数值 x，使得有 99% 的数据低于它（第 99 百分位数）。

μ = 65σ = 10P = 99%
x = 分
3.置信区间中等
n = 11, s = 12LUx̄ = 43E = ?99%

一个包含 11 个个体的样本，均值为 43，标准差 s = 12。总体近似服从正态分布。 求均值的 99% 置信区间的误差范围 E。

n = 11x̄ = 43s = 1299%t(10) = 3.169
E =
4.置信区间困难
p ≈ 0.3, n = ?p̂ − Ep̂ + Ep̂E = 0.0495%

一项预研究表明，约有 0.3 的产品有缺陷。 必须检验多少件产品 n，才能使比例的 95% 置信区间的误差范围不超过 0.04？

p ≈ 0.3E = 0.0495%
n =
5.假设检验与置信区间中等
t −2.13102.131

16 名学生的样本平均分为 493.5，样本标准差为 10。求 H₀: μ = 500 的检验统计量 t。

μ₀ = 500x̄ = 493.5s = 10n = 16
t =
6.假设检验与置信区间困难
μ₀x̄c

在 α = 0.10 下，用容量为 25 的样本对 H₀: μ = 50 与 H₁: μ < 50 进行单侧 z 检验；已知标准差为 10。实际上均值为 48。 求该检验的功效 1 − β，以百分比表示。

μ₀ = 50μ = 48σ = 10n = 25α = 0.10
1 − β = %
7.线性回归与相关中等
xy127226323420516616xy2462025

表中给出 6 对观测值 x = 车龄（年） 和 y = 价格 (k€)。 求皮尔逊相关系数 r。

n = 6
r =
8.线性回归与相关困难
xy157257361466559xy246065x = 1.5

表中给出 5 对观测值 x = 学习小时数 和 y = 考试成绩。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 预测 x = 1.5 时的 ŷ。

n = 5x = 1.5
ŷ =
9.卡方检验中等
无缺陷轻微严重合计白班18144274夜班384235115合计565677189

列联表给出了观测频数。为进行卡方独立性检验，求单元格“白班，轻微”的期望频数 E。

行合计 = 74列合计 = 56N = 189
E =
10.卡方检验困难

一个卡方拟合优度检验检验 9 个类别的频数是否服从泊松分布，其均值由同一组数据估计。 该检验的自由度 df 是多少？

k = 9
df =

3溶液

1.正态分布

答案: z = −1.9

由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。

z 左侧的面积

Φ(z) = 1 − 0.9713 = 0.0287

反向查 z 表

在表中找到 0.0287，读出 z。

z = −1.90

答案

z = −1.90
2.正态分布

答案: x = 88.26 分

正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。

该百分位数对应的 z

Φ(z) = 0.99 → z = 2.326

换算回 x

x = 65 + 2.326·10 = 88.26 分

答案

x = 88.26 分
3.置信区间

答案: E = 11.47

均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。

临界值

df = n − 1 = 10, t = 3.169

误差范围

E = 3.169·12/√11 = 11.47

答案

E = 11.47
4.置信区间

答案: n = 505

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.

解出 n

n = 1.96²·0.3·0.7/0.04² = 504.2

向上取整

n = 505

答案

n = 505
5.假设检验与置信区间

答案: t = −2.6

均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。

标准误

SE = 10/√16 = 10/4 = 2.5

检验统计量

t = (493.5 − 500)/2.5 = −2.6

答案

t = −2.6
t0.025; df = 15 = 2.131

|t| > 2.131，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。

6.假设检验与置信区间

答案: 1 − β = 38.9 %

检验功效：功效 = 1 − β，是 H₀ 为假时拒绝 H₀ 的概率。由 μ₀ 和 z_α 求出临界值 x̄c，再用真实均值计算落在 x̄c 以外的概率：z = (x̄c − μ)/(σ/√n)。

临界样本均值

SE = 10/√25 = 2
x̄c = 50 − 1.282·2 = 47.44

真实均值下的 z

z = (47.44 − 48)/2 = −0.282

功率

功效 = P(Z < −0.282) = 38.9%
1 − β = 38.9%

答案

1 − β = 38.9%
7.线性回归与相关

答案: r = −0.9794

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

均值

x̄ = 21/6 = 3.5
ȳ = 128/6 = 21.33

平方和与乘积和

Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −44
Syy = Σ(y − ȳ)² = 115.3

相关系数

r = −44/√(17.5·115.3) = −0.9794

答案

r = −0.9794
8.线性回归与相关

答案: ŷ = 58.05

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

均值

x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 300/5 = 60

平方和与乘积和

Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 13

回归直线

b = 13/10 = 1.3
a = 60 − 1.3·3 = 56.1
ŷ = 56.1 + 1.3·x

预测

ŷ = 56.1 + 1.3·1.5 = 58.05

答案

ŷ = 58.05
9.卡方检验

答案: E = 21.93

卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。

期望频数

E = 74·56/189 = 21.93

答案

E = 21.93
10.卡方检验

答案: df = 7

卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。

自由度

df = 9 − 1 − 1 = 7

答案

df = 7

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