统计学（二）：统计推断：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

置信区间

σ 已知: x̄ ± z·σ/√n
σ 未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量: n = (z·σ/E)², rounded up

方法

在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
求该置信水平下的临界值。
误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
均值的 t 检验: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧: 若 |z| > 1.96 则拒绝 H₀
置信区间: x̄ ± z·σ/√n

方法

写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
与临界值比较，或求出 p 值。
若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

线性回归与相关

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
斜率: b = S_xy/S_xx
截距: a = ȳ − b·x̄
相关系数: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

卡方检验

检验统计量: χ² = Σ(O − E)²/E
拟合优度: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
独立性: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
临界值（α = 0.05）: df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
决策: 若 χ² > χ²_crit，则拒绝 H₀

2练习题

1.正态分布中等

智商分数服从正态分布，均值为 100 分，标准差为 15 分。介于 93.25 和 122.5 分之间的比例是多少？P 以小数表示。

μ = 100σ = 15x₁ = 93.25x₂ = 122.5

P =

2.正态分布困难

袋装重量服从正态分布，均值为 250 g，标准差为 5 g。求数值 x，使得有 75% 的数据低于它（第 75 百分位数）。

μ = 250σ = 5P = 75%

x = g

3.置信区间中等

基于 50 个观测值且 σ 已知的均值 90% 置信区间，其误差范围为 6.9。用同样的数据计算 99% 区间，其误差范围 E₂ 是多少？

90%n₁ = 50E₁ = 6.999%

E₂ =

4.置信区间困难

对两种肥料进行试验。地块组 1：6 块地，平均产量 33 kg，标准差 3 kg。地块组 2：6 块地，均值 26 kg，标准差 4 kg。假设方差相等（合并 t，df = n₁ + n₂ − 2）。求 μ₁ − μ₂ 的 90% 置信区间的上限。

n₁ = 6x̄₁ = 33s₁ = 3n₂ = 6x̄₂ = 26s₂ = 490%t(10) = 1.812

上限 = kg

5.假设检验与置信区间中等

81 名学生的样本平均分为 48.28，样本标准差为 5。求 H₀: μ = 50 的检验统计量 t。

μ₀ = 50x̄ = 48.28s = 5n = 81

t =

6.假设检验与置信区间困难

在一项试验中，接受治疗 A 的 120 名患者中有 48 人康复，接受治疗 B 的 100 名患者中有 50 人康复。用合并比例求 H₀: p₁ = p₂ 的检验统计量 z。

x₁ = 48n₁ = 120x₂ = 50n₂ = 100

z =

7.线性回归与相关中等

表中给出 6 对观测值 x = 车龄（年）和 y = 价格 (k€)。求最小二乘直线的决定系数 r²。

n = 6

r² =

8.线性回归与相关困难

表中给出 6 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。预测 x = 7 时的 ŷ。

n = 6x = 7

ŷ =

9.卡方检验中等

列联表给出了观测频数。计算行变量与列变量独立性检验的卡方统计量 χ²。不使用连续性校正。

N = 1602 × 2

χ² =

10.卡方检验困难

表中给出了观测频数。在 α = 0.05 下检验两个变量是否独立（不使用连续性校正）。计算检验统计量 χ²，再与表中的临界值比较。

N = 1803 × 2α = 0.05

χ² =

3溶液

1.正态分布

答案: P = 0.6068

正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。

z 分数

z₁ = (93.25 − 100)/15 = −0.45

z₂ = (122.5 − 100)/15 = 1.5

中间面积

P = Φ(1.5) − Φ(−0.45) = 0.9332 − 0.3264 = 0.6068

答案

P = 0.6068

2.正态分布

答案: x = 253.4 g

该百分位数对应的 z

Φ(z) = 0.75 → z = 0.6745

换算回 x

x = 250 + 0.6745·5 = 253.37 g

答案

x = 253.37 g

3.置信区间

答案: E₂ = 10.81

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

误差范围之比

E₂/E₁ = (2.576/1.645)·√(50/50) = 1.566

新的误差范围

E₂ = 6.9·1.566 = 10.81

答案

E₂ = 10.81

4.置信区间

答案: 上限 = 10.7 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

合并标准差

s_p² = (5·3² + 5·4²)/10 = 12.5

s_p = 3.536

误差范围

E = 1.812·3.536·√(1/6 + 1/6) = 3.699

区间

7 ± 3.699 → [3.301, 10.7]

答案

上限 = 10.7 kg

5.假设检验与置信区间

答案: t = −3.096

均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。

标准误

SE = 5/√81 = 5/9 = 0.5556

检验统计量

t = (48.28 − 50)/0.5556 = −3.096

答案

t = −3.096

t_{0.025; df = 80} = 1.99

|t| > 1.99，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。

6.假设检验与置信区间

答案: z = −1.486

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

样本比例

p̂₁ = 48/120 = 0.4

p̂₂ = 50/100 = 0.5

p̂ = 98/220 = 0.4455

H₀ 下的标准误

SE = √(0.4455·0.5545·(1/120 + 1/100)) = 0.0673

检验统计量

z = (0.4 − 0.5)/0.0673 = −1.486

答案

z = −1.486

|z| < 1.96，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。

7.线性回归与相关

答案: r² = 0.9382

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

均值

x̄ = 21/6 = 3.5

ȳ = 112/6 = 18.67

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −45

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 123.3

决定系数

r² = −45²/(17.5·123.3) = 0.9382

答案

r² = 0.9382

y 的变异中约有 93.82% 可由该直线解释。

8.线性回归与相关

答案: ŷ = 17.83

均值

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 107/6 = 17.83

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 151

回归直线

b = 151/70 = 2.157

a = 17.83 − 2.157·7 = 2.733

ŷ = 2.733 + 2.157·x

预测

ŷ = 2.733 + 2.157·7 = 17.83

答案

ŷ = 17.83

9.卡方检验

答案: χ² = 11.25

卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。

期望频数

男性: 120·64/160 = 48, 120·96/160 = 72

女性: 40·64/160 = 16, 40·96/160 = 24

卡方统计量

χ² = (39 − 48)²/48 + (81 − 72)²/72 + (25 − 16)²/16 + (15 − 24)²/24

χ² = 11.25

答案

χ² = 11.25

df = 1。在 α = 0.05 时临界值为 3.841，所以 H₀（独立）被拒绝。

10.卡方检验

答案: χ² = 6.3

期望频数

生产线 1: 20, 20

生产线 2: 50, 50

生产线 3: 20, 20

卡方统计量

χ² = (27 − 20)²/20 + (13 − 20)²/20 + (45 − 50)²/50 + (55 − 50)²/50 + (18 − 20)²/20 + (22 − 20)²/20

χ² = 6.3

决策

df = 2, χ²_crit = 5.991

6.3 > 5.991

答案

χ² = 6.3

χ² 高于临界值，所以拒绝 H₀：两个变量看起来是相关的。

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