正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
统计学（二）：统计推断：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
卡方检验
- 检验统计量
- χ² = Σ(O − E)²/E
- 拟合优度
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- 独立性
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- 临界值（α = 0.05）
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- 决策
- 若 χ² > χ²crit，则拒绝 H0
2练习题
1.正态分布中等
成年男性的身高服从正态分布，均值为 178 cm，标准差为 7 cm。介于 171 和 190.95 cm 之间的比例是多少？P 以小数表示。
μ = 178σ = 7x1 = 171x2 = 190.95
P =
2.正态分布困难
智商分数 服从正态分布，均值为 100 分，标准差为 15 分。拖动截断值，使阴影的前 70% 位于其右侧。求截断值 x。
μ = 100 分σ = 15 分70%
x = 分
3.置信区间中等
一个包含 16 个个体的样本，均值为 70，标准差 s = 15。总体近似服从正态分布。 求均值的 90% 置信区间的误差范围 E。
n = 16x̄ = 70s = 1590%t(15) = 1.753
E =
4.置信区间困难
对两种肥料进行试验。地块组 1：10 块地，平均产量 81 kg，标准差 3.5 kg。地块组 2：7 块地，均值 79.5 kg，标准差 1 kg。假设方差相等（合并 t，df = n₁ + n₂ − 2）。 求 μ₁ − μ₂ 的 99% 置信区间的上限。
n₁ = 10x̄₁ = 81s₁ = 3.5n₂ = 7x̄₂ = 79.5s₂ = 199%t(15) = 2.947
上限 = kg
5.假设检验与置信区间中等
8 名员工在培训课程前后各参加一次打字测试。记录每人的差值 d = 培训后 − 培训前（每分钟字数）。平均差值为 15.15，差值的标准差为 11.9。求 H₀: μd = 0 的配对检验统计量 t。
n = 8d̄ = 15.15sd = 11.9
t =
6.假设检验与置信区间困难
样本至少要多大，才能使均值的 99% 置信区间的误差范围不超过 2.5？标准差为 20。求最小样本量 n。
σ = 20E = 2.599%
n =
7.线性回归与相关中等
表中给出 6 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。 已给出它们的各项和。由这些和求皮尔逊相关系数 r。
n = 6Σx = 42Σy = 160Σx² = 364Σy² = 5088Σxy = 1358
r =
8.线性回归与相关困难
表中给出 5 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 x 取何值 x 时，直线预测 ŷ = 31？
n = 5ŷ = 31
x =
9.卡方检验中等
列联表给出了观测频数。为进行卡方独立性检验，求单元格“白班，轻微”的期望频数 E。
行合计 = 91列合计 = 70N = 169
E =
10.卡方检验困难
一个卡方拟合优度检验将 5 个类别的观测频数与完全给定的期望比例进行比较（没有由数据估计的参数）。 利用表格，求显著性水平 α = 0.01 下的临界值 χ²crit。
α = 0.01
χ²crit =
3溶液
1.正态分布
答案: P = 0.8092
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
z 分数
z₁ = (171 − 178)/7 = −1
z₂ = (190.95 − 178)/7 = 1.85
中间面积
P = Φ(1.85) − Φ(−1) = 0.9678 − 0.1587 = 0.8092
答案
P = 0.8092
2.正态分布
答案: x = 92.2 分
由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。
左侧的面积
Φ(z) = 0.3
由表得到的 z
z ≈ −0.52
回到原来的单位
x = 100 − 0.52·15 = 92.2 分
答案
x = 92.2 分
3.置信区间
答案: E = 6.574
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
临界值
df = n − 1 = 15, t = 1.753
误差范围
E = 1.753·15/√16 = 6.574
答案
E = 6.574
4.置信区间
答案: 上限 = 5.543 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
合并标准差
sp² = (9·3.5² + 6·1²)/15 = 7.75
sp = 2.784
误差范围
E = 2.947·2.784·√(1/10 + 1/7) = 4.043
区间
1.5 ± 4.043 → [−2.543, 5.543]
答案
上限 = 5.543 kg
5.假设检验与置信区间
答案: t = 3.601
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
平均差值的标准误
SE = 11.9/√8 = 4.207
检验统计量
t = 15.15/4.207 = 3.601
答案
t = 3.601
df = 7 时，双侧 5% 的临界值为 2.365；|t| 更大，所以拒绝 H₀。
6.假设检验与置信区间
答案: n = 425
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
解出 n
n = (2.576·20/2.5)² = 424.7
向上取整
n = 425
答案
n = 425
7.线性回归与相关
答案: r = 0.9926
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
中心化后的和
Sxy = 1358 − 42·160/6 = 238
Sxx = 364 − 42²/6 = 70
Syy = 5088 − 160²/6 = 821.3
相关系数
r = 238/√(70·821.3) = 0.9926
答案
r = 0.9926
8.线性回归与相关
答案: x = 8.873
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 104/5 = 20.8
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 142
回归直线
b = 142/40 = 3.55
a = 20.8 − 3.55·6 = −0.5
ŷ = −0.5 + 3.55·x
解出 x
x = (31 − (−0.5))/3.55 = 8.873
答案
x = 8.873
9.卡方检验
答案: E = 37.69
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
E = 91·70/169 = 37.69
答案
E = 37.69
10.卡方检验
答案: χ²crit = 13.28
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
自由度
df = 5 − 1 = 4
表
χ²crit(df = 4, α = 0.01) = 13.277
答案
χ²crit = 13.277
若计算出的 χ² 大于该值，则拒绝 H₀。
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