统计学（二）：统计推断：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

置信区间

σ 已知: x̄ ± z·σ/√n
σ 未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量: n = (z·σ/E)², rounded up

方法

在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
求该置信水平下的临界值。
误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
均值的 t 检验: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧: 若 |z| > 1.96 则拒绝 H₀
置信区间: x̄ ± z·σ/√n

方法

写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
与临界值比较，或求出 p 值。
若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

线性回归与相关

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
斜率: b = S_xy/S_xx
截距: a = ȳ − b·x̄
相关系数: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

卡方检验

检验统计量: χ² = Σ(O − E)²/E
拟合优度: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
独立性: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
临界值（α = 0.05）: df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
决策: 若 χ² > χ²_crit，则拒绝 H₀

2练习题

1.正态分布中等

拖动 z，使标准正态曲线下 −z 与 z 之间的阴影面积为 0.9774。求 z，保留两位小数。

A = 0.9774

z =

2.正态分布困难

孔径 D 服从均值 25.04 mm、标准差 0.01 mm 的正态分布。轴径 d 独立，服从均值 25 mm、标准差 0.02 mm 的正态分布。随机选取的一根轴在 D − d > 0 时能装入。求它能装入的概率 P。z 取两位小数。

孔: μ = 25.04 mm, σ = 0.01 mm轴: μ = 25 mm, σ = 0.02 mm

P =

3.置信区间中等

比较两种手机型号的电池续航时间。型号 1：40 部手机，均值 146.5 h，已知标准差 15 h。型号 2：40 部手机，均值 132 h，已知标准差 19 h。求 μ₁ − μ₂ 的 95% 置信区间的下限。

n₁ = 40x̄₁ = 146.5 hσ₁ = 15 hn₂ = 40x̄₂ = 132 hσ₂ = 19 h95%

下限 = h

4.置信区间困难

总体标准差为 23。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 99% 置信区间的误差范围不超过 5？

σ = 23E = 599%

n =

5.假设检验与置信区间中等

据称某总体的均值为 100；已知总体标准差为 15。一个含 25 个观测值的随机样本均值为 97.3。检验 H₀: μ = 100 对 H₁: μ < 100。求 p 值 p。

μ₀ = 100σ = 15n = 25x̄ = 97.3H₁: μ < μ₀

p =

6.假设检验与置信区间困难

在一项试验中，接受治疗 A 的 300 名患者中有 75 人康复，接受治疗 B 的 80 名患者中有 24 人康复。用合并比例求 H₀: p₁ = p₂ 的检验统计量 z。

x₁ = 75n₁ = 300x₂ = 24n₂ = 80

z =

7.线性回归与相关中等

表中给出 5 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。已给出它们的各项和。由这些和求皮尔逊相关系数 r。

n = 5Σx = 30Σy = 111Σx² = 220Σy² = 2947Σxy = 804

r =

8.线性回归与相关困难

表中给出 5 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。新得到一个观测值 (3, 11)。求其残差 e = y − ŷ。

n = 5(3, 11)

e =

9.卡方检验中等

列联表给出了观测频数。计算行变量与列变量独立性检验的卡方统计量 χ²。不使用连续性校正。

N = 1802 × 2

χ² =

10.卡方检验困难

对一个 2 行 3 列（不含合计）的列联表进行卡方独立性检验。利用表格，求显著性水平 α = 0.05 下的临界值 χ²_crit。

α = 0.05

χ²_crit =

3溶液

1.正态分布

答案: z = 2.28

由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。

z 左侧的面积

Φ(z) = (1 + 0.9774)/2 = 0.9887

反向查 z 表

在表中找到 0.9887，读出 z。

z = 2.28

答案

z = 2.28

2.正态分布

答案: P = 0.9633

正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²，所以 σ = √(σ_X² + σ_Y²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。

差的分布

μ = 25.04 − 25 = 0.04 mm, σ = 0.02236 mm

标准化

z = (0 − 0.04)/0.02236 = −1.79

概率

P = 1 − Φ(−1.79) = 0.9633

答案

P = 0.9633

3.置信区间

答案: 下限 = 6.998 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

点估计

x̄₁ − x̄₂ = 146.5 − 132 = 14.5

标准误

SE = √(15²/40 + 19²/40) = 3.828

误差范围

E = 1.96·3.828 = 7.502

区间

14.5 ± 7.502 → [6.998, 22]

答案

下限 = 6.998 h

区间不包含 0，所以两个均值有显著差异。

4.置信区间

答案: n = 141

均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。

解出 n

n = (2.576·23/5)² = 140.4

向上取整

样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。

n = 141

答案

n = 141

5.假设检验与置信区间

答案: p = 0.1841

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

检验统计量

SE = σ/√n = 15/√25 = 3

z = (97.3 − 100)/3 = −0.9

尾部面积

Φ(0.9) = 0.8159

1 − Φ(0.9) = 0.1841

p 值

p = 0.1841

答案

p = 0.1841

p > 0.05，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀。

6.假设检验与置信区间

答案: z = −0.9053

样本比例

p̂₁ = 75/300 = 0.25

p̂₂ = 24/80 = 0.3

p̂ = 99/380 = 0.2605

H₀ 下的标准误

SE = √(0.2605·0.7395·(1/300 + 1/80)) = 0.05523

检验统计量

z = (0.25 − 0.3)/0.05523 = −0.9053

答案

z = −0.9053

|z| < 1.96，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。

7.线性回归与相关

答案: r = 0.993

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

中心化后的和

S_xy = 804 − 30·111/5 = 138

S_xx = 220 − 30²/5 = 40

S_yy = 2947 − 111²/5 = 482.8

答案

r = 0.993

8.线性回归与相关

答案: e = −1.9

均值

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 129/5 = 25.8

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 172

回归直线

b = 172/40 = 4.3

a = 25.8 − 4.3·6 = 0

ŷ = 0 + 4.3·x

预测值

ŷ = 0 + 4.3·3 = 12.9

残差

e = 11 − 12.9 = −1.9

答案

e = −1.9

该点位于直线下方。

9.卡方检验

答案: χ² = 2.604

卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。

期望频数

男性: 60·108/180 = 36, 60·72/180 = 24

女性: 120·108/180 = 72, 120·72/180 = 48

卡方统计量

χ² = (31 − 36)²/36 + (29 − 24)²/24 + (77 − 72)²/72 + (43 − 48)²/48

χ² = 2.604

答案

χ² = 2.604

df = 1。在 α = 0.05 时临界值为 3.841，所以 H₀（独立）不被拒绝。

10.卡方检验

答案: χ²_crit = 5.991

自由度

df = (2 − 1)·(3 − 1) = 2

表

χ²_crit(df = 2, α = 0.05) = 5.991

答案

χ²_crit = 5.991

若计算出的 χ² 大于该值，则拒绝 H₀。

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