正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
统计学（二）：统计推断：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
卡方检验
- 检验统计量
- χ² = Σ(O − E)²/E
- 拟合优度
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- 独立性
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- 临界值（α = 0.05）
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- 决策
- 若 χ² > χ²crit，则拒绝 H0
2练习题
1.正态分布中等
配送时间服从正态分布，均值为 32 min，标准差为 6 min。介于 20.3 和 35.3 min 之间的比例是多少？P 以小数表示。
μ = 32σ = 6x1 = 20.3x2 = 35.3
P =
2.正态分布困难
考试成绩服从正态分布，均值为 65 分，标准差为 10 分。求数值 x，使得有 97.5% 的数据低于它（第 97.5 百分位数）。
μ = 65σ = 10P = 97.5%
x = 分
3.置信区间中等
比较两种手机型号的电池续航时间。型号 1：60 部手机，均值 141.5 h，已知标准差 11 h。型号 2：80 部手机，均值 154.5 h，已知标准差 6 h。 求 μ₁ − μ₂ 的 95% 置信区间的上限。
n₁ = 60x̄₁ = 141.5 hσ₁ = 11 hn₂ = 80x̄₂ = 154.5 hσ₂ = 6 h95%
上限 = h
4.置信区间困难
总体标准差为 20。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 90% 置信区间的误差范围不超过 1？
σ = 20E = 190%
n =
5.假设检验与置信区间中等
49 名学生的样本平均分为 508.3，样本标准差为 20。求 H₀: μ = 500 的检验统计量 t。
μ₀ = 500x̄ = 508.3s = 20n = 49
t =
6.假设检验与置信区间困难
样本至少要多大，才能使均值的 90% 置信区间的误差范围不超过 2.5？标准差为 10。求最小样本量 n。
σ = 10E = 2.590%
n =
7.线性回归与相关中等
表中给出 6 对观测值 x = 学习小时数 和 y = 考试成绩。 求皮尔逊相关系数 r。
n = 6
r =
8.线性回归与相关困难
表中给出 5 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 预测 x = 9 时的 ŷ。
n = 5x = 9
ŷ =
9.卡方检验中等
列联表给出了观测频数。计算行变量与列变量独立性检验的卡方统计量 χ²。不使用连续性校正。
N = 2002 × 2
χ² =
10.卡方检验困难
一个卡方拟合优度检验检验 6 个类别的频数是否服从泊松分布，其均值由同一组数据估计。 利用表格，求显著性水平 α = 0.01 下的临界值 χ²crit。
α = 0.01
χ²crit =
3溶液
1.正态分布
答案: P = 0.6833
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
z 分数
z₁ = (20.3 − 32)/6 = −1.95
z₂ = (35.3 − 32)/6 = 0.55
中间面积
P = Φ(0.55) − Φ(−1.95) = 0.7088 − 0.02559 = 0.6833
答案
P = 0.6833
2.正态分布
答案: x = 84.6 分
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
该百分位数对应的 z
Φ(z) = 0.975 → z = 1.96
换算回 x
x = 65 + 1.96·10 = 84.6 分
答案
x = 84.6 分
3.置信区间
答案: 上限 = −9.922 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
点估计
x̄₁ − x̄₂ = 141.5 − 154.5 = −13
标准误
SE = √(11²/60 + 6²/80) = 1.571
误差范围
E = 1.96·1.571 = 3.078
区间
−13 ± 3.078 → [−16.08, −9.922]
答案
上限 = −9.922 h
区间不包含 0，所以两个均值有显著差异。
4.置信区间
答案: n = 1083
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
解出 n
n = (1.645·20/1)² = 1082
向上取整
样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。
n = 1083
答案
n = 1083
5.假设检验与置信区间
答案: t = 2.905
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
标准误
SE = 20/√49 = 20/7 = 2.857
检验统计量
t = (508.3 − 500)/2.857 = 2.905
答案
t = 2.905
t0.025; df = 48 = 2.011
|t| > 2.011，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。
6.假设检验与置信区间
答案: n = 44
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
解出 n
n = (1.645·10/2.5)² = 43.3
向上取整
n = 44
答案
n = 44
7.线性回归与相关
答案: r = 0.9747
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 21/6 = 3.5
ȳ = 354/6 = 59
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 133
Syy = Σ(y − ȳ)² = 1064
相关系数
r = 133/√(17.5·1064) = 0.9747
答案
r = 0.9747
8.线性回归与相关
答案: ŷ = 13.55
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 49/5 = 9.8
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 50
回归直线
b = 50/40 = 1.25
a = 9.8 − 1.25·6 = 2.3
ŷ = 2.3 + 1.25·x
预测
ŷ = 2.3 + 1.25·9 = 13.55
答案
ŷ = 13.55
9.卡方检验
答案: χ² = 44.32
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
新药: 120·130/200 = 78, 120·70/200 = 42
安慰剂: 80·130/200 = 52, 80·70/200 = 28
卡方统计量
χ² = (56 − 78)²/78 + (64 − 42)²/42 + (74 − 52)²/52 + (6 − 28)²/28
χ² = 44.32
答案
χ² = 44.32
df = 1。在 α = 0.05 时临界值为 3.841，所以 H₀（独立）被拒绝。
10.卡方检验
答案: χ²crit = 13.28
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
自由度
df = 6 − 1 − 1 = 4
表
χ²crit(df = 4, α = 0.01) = 13.277
答案
χ²crit = 13.277
若计算出的 χ² 大于该值，则拒绝 H₀。
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