统计学（二）：统计推断：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

置信区间

σ 已知: x̄ ± z·σ/√n
σ 未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量: n = (z·σ/E)², rounded up

方法

在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
求该置信水平下的临界值。
误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
均值的 t 检验: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧: 若 |z| > 1.96 则拒绝 H₀
置信区间: x̄ ± z·σ/√n

方法

写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
与临界值比较，或求出 p 值。
若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

线性回归与相关

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
斜率: b = S_xy/S_xx
截距: a = ȳ − b·x̄
相关系数: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

卡方检验

检验统计量: χ² = Σ(O − E)²/E
拟合优度: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
独立性: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
临界值（α = 0.05）: df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
决策: 若 χ² > χ²_crit，则拒绝 H₀

2练习题

1.正态分布中等

X 服从均值 12 min、标准差 1.5 min 的正态分布；Y 独立，服从均值 20 min、标准差 2 min 的正态分布。求 X + Y 大于 33.3 min 的概率 P。z 取两位小数。

μ_X = 12, σ_X = 1.5μ_Y = 20, σ_Y = 2X + Y > 33.3 min

P =

2.正态分布困难

成年男性的身高服从正态分布，均值为 178 cm，标准差为 7 cm。拖动截断值，使阴影的后 10% 位于其左侧。求截断值 x。

μ = 178 cmσ = 7 cm10%

x = cm

3.置信区间中等

基于 100 个观测值且 σ 已知的均值 90% 置信区间，其误差范围为 6。基于 25 个观测值的 95% 区间，其误差范围 E₂ 是多少？

90%n₁ = 100E₁ = 695%n₂ = 25

E₂ =

4.置信区间困难

总体标准差为 9。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 90% 置信区间的误差范围不超过 0.5？

σ = 9E = 0.590%

n =

5.假设检验与置信区间中等

据称某总体的均值为 120；已知总体标准差为 30。一个含 100 个观测值的随机样本均值为 126.6。检验 H₀: μ = 120 对 H₁: μ ≠ 120。求 p 值 p。

μ₀ = 120σ = 30n = 100x̄ = 126.6H₁: μ ≠ μ₀

p =

6.假设检验与置信区间困难

在一项试验中，接受治疗 A 的 80 名患者中有 16 人康复，接受治疗 B 的 80 名患者中有 22 人康复。用合并比例求 H₀: p₁ = p₂ 的检验统计量 z。

x₁ = 16n₁ = 80x₂ = 22n₂ = 80

z =

7.线性回归与相关中等

表中给出 5 对观测值 x = 广告支出 (k€) 和 y = 销售额 (k€)。求最小二乘直线的决定系数 r²。

n = 5

r² =

8.线性回归与相关困难

表中给出 5 对观测值 x = 广告支出 (k€) 和 y = 销售额 (k€)。使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。新得到一个观测值 (10, 61)。求其残差 e = y − ŷ。

n = 5(10, 61)

e =

9.卡方检验中等

列联表给出了观测频数。计算行变量与列变量独立性检验的卡方统计量 χ²。不使用连续性校正。

N = 1402 × 3

χ² =

10.卡方检验困难

表中给出了观测频数。在 α = 0.05 下检验两个变量是否独立（不使用连续性校正）。计算检验统计量 χ²，再与表中的临界值比较。

N = 2203 × 2α = 0.05

χ² =

3溶液

1.正态分布

答案: P = 0.3015

正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²，所以 σ = √(σ_X² + σ_Y²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。

和的分布

μ = 32 min, σ = √(1.5² + 2²) = 2.5 min

标准化

z = (33.3 − 32)/2.5 = 0.52

上尾

P = 1 − Φ(0.52) = 1 − 0.6985 = 0.3015

答案

P = 0.3015

2.正态分布

答案: x = 169 cm

由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。

左侧的面积

Φ(z) = 0.1

由表得到的 z

z ≈ −1.28

回到原来的单位

x = 178 − 1.28·7 = 169 cm

答案

x = 169 cm

3.置信区间

答案: E₂ = 14.3

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

误差范围之比

E₂/E₁ = (1.96/1.645)·√(100/25) = 2.383

新的误差范围

E₂ = 6·2.383 = 14.3

答案

E₂ = 14.3

4.置信区间

答案: n = 877

均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。

解出 n

n = (1.645·9/0.5)² = 876.8

向上取整

样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。

n = 877

答案

n = 877

5.假设检验与置信区间

答案: p = 0.02781

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

检验统计量

SE = σ/√n = 30/√100 = 3

z = (126.6 − 120)/3 = 2.2

尾部面积

Φ(2.2) = 0.9861

1 − Φ(2.2) = 0.0139

p 值

p = 2·0.0139 = 0.02781

答案

p = 0.02781

p ≤ 0.05，所以在 5% 水平下拒绝 H₀。

6.假设检验与置信区间

答案: z = −1.115

样本比例

p̂₁ = 16/80 = 0.2

p̂₂ = 22/80 = 0.275

p̂ = 38/160 = 0.2375

H₀ 下的标准误

SE = √(0.2375·0.7625·(1/80 + 1/80)) = 0.06729

检验统计量

z = (0.2 − 0.275)/0.06729 = −1.115

答案

z = −1.115

|z| < 1.96，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。

7.线性回归与相关

答案: r² = 0.887

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

均值

x̄ = 20/5 = 4

ȳ = 244/5 = 48.8

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 38

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 162.8

决定系数

r² = 38²/(10·162.8) = 0.887

答案

r² = 0.887

y 的变异中约有 88.7% 可由该直线解释。

8.线性回归与相关

答案: e = −4

均值

x̄ = 35/5 = 7

ȳ = 286/5 = 57.2

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 104

回归直线

b = 104/40 = 2.6

a = 57.2 − 2.6·7 = 39

ŷ = 39 + 2.6·x

预测值

ŷ = 39 + 2.6·10 = 65

残差

e = 61 − 65 = −4

答案

e = −4

该点位于直线下方。

9.卡方检验

答案: χ² = 21.11

卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。

期望频数

学生: 100·28/140 = 20, 100·42/140 = 30, 100·70/140 = 50

教职工: 40·28/140 = 8, 40·42/140 = 12, 40·70/140 = 20

卡方统计量

χ² = (23 − 20)²/20 + (39 − 30)²/30 + (38 − 50)²/50 + (5 − 8)²/8 + (3 − 12)²/12 + (32 − 20)²/20

χ² = 21.11

答案

χ² = 21.11

df = 2。在 α = 0.05 时临界值为 5.991，所以 H₀（独立）被拒绝。

10.卡方检验

答案: χ² = 34.9

期望频数

生产线 1: 42, 18

生产线 2: 56, 24

生产线 3: 56, 24

卡方统计量

χ² = (31 − 42)²/42 + (29 − 18)²/18 + (75 − 56)²/56 + (5 − 24)²/24 + (48 − 56)²/56 + (32 − 24)²/24

χ² = 34.9

决策

df = 2, χ²_crit = 5.991

34.9 > 5.991

答案

χ² = 34.9

χ² 高于临界值，所以拒绝 H₀：两个变量看起来是相关的。

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