正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
统计学（二）：统计推断：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
卡方检验
- 检验统计量
- χ² = Σ(O − E)²/E
- 拟合优度
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- 独立性
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- 临界值（α = 0.05）
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- 决策
- 若 χ² > χ²crit，则拒绝 H0
2练习题
1.正态分布中等
成年男性的身高服从正态分布，均值为 178 cm，标准差为 7 cm。介于 169.95 和 181.85 cm 之间的比例是多少？P 以小数表示。
μ = 178σ = 7x1 = 169.95x2 = 181.85
P =
2.正态分布困难
孔径 D 服从均值 25.02 mm、标准差 0.01 mm 的正态分布。轴径 d 独立，服从均值 25 mm、标准差 0.01 mm 的正态分布。随机选取的一根轴在 D − d > 0 时能装入。求它能装入的概率 P。z 取两位小数。
孔: μ = 25.02 mm, σ = 0.01 mm轴: μ = 25 mm, σ = 0.01 mm
P =
3.置信区间中等
一个包含 25 个个体的样本，均值为 59.5，标准差 s = 20。总体近似服从正态分布。 求均值的 95% 置信区间的下限。
n = 25x̄ = 59.5s = 2095%t(24) = 2.064
下限 =
4.置信区间困难
总体标准差为 40。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 90% 置信区间的误差范围不超过 4？
σ = 40E = 490%
n =
5.假设检验与置信区间中等
据称某总体的均值为 100；已知总体标准差为 3。一个含 36 个观测值的随机样本均值为 100.73。检验 H₀: μ = 100 对 H₁: μ ≠ 100。求 p 值 p。
μ₀ = 100σ = 3n = 36x̄ = 100.73H₁: μ ≠ μ₀
p =
6.假设检验与置信区间困难
样本至少要多大，才能使均值的 99% 置信区间的误差范围不超过 0.5？标准差为 8。求最小样本量 n。
σ = 8E = 0.599%
n =
7.线性回归与相关中等
表中给出 6 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。 求皮尔逊相关系数 r。
n = 6
r =
8.线性回归与相关困难
表中给出 6 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 新得到一个观测值 (20.5, 86)。求其残差 e = y − ŷ。
n = 6(20.5, 86)
e =
9.卡方检验中等
列联表给出了观测频数。计算行变量与列变量独立性检验的卡方统计量 χ²。不使用连续性校正。
N = 1002 × 3
χ² =
10.卡方检验困难
对一个 3 行 5 列（不含合计）的列联表进行卡方独立性检验。 利用表格，求显著性水平 α = 0.05 下的临界值 χ²crit。
α = 0.05
χ²crit =
3溶液
1.正态分布
答案: P = 0.5838
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
z 分数
z₁ = (169.95 − 178)/7 = −1.15
z₂ = (181.85 − 178)/7 = 0.55
中间面积
P = Φ(0.55) − Φ(−1.15) = 0.7088 − 0.1251 = 0.5838
答案
P = 0.5838
2.正态分布
答案: P = 0.9207
正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μX ± μY。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σX² + σY²，所以 σ = √(σX² + σY²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。
差的分布
μ = 25.02 − 25 = 0.02 mm, σ = 0.01414 mm
标准化
z = (0 − 0.02)/0.01414 = −1.41
概率
P = 1 − Φ(−1.41) = 0.9207
答案
P = 0.9207
3.置信区间
答案: 下限 = 51.24
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
临界值
df = n − 1 = 24, t = 2.064
误差范围
E = 2.064·20/√25 = 8.256
区间
59.5 ± 8.256 → [51.24, 67.76]
答案
下限 = 51.24
4.置信区间
答案: n = 271
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
解出 n
n = (1.645·40/4)² = 270.6
向上取整
样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。
n = 271
答案
n = 271
5.假设检验与置信区间
答案: p = 0.1443
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
检验统计量
SE = σ/√n = 3/√36 = 0.5
z = (100.73 − 100)/0.5 = 1.46
尾部面积
Φ(1.46) = 0.9279
1 − Φ(1.46) = 0.0721
p 值
p = 2·0.0721 = 0.1443
答案
p = 0.1443
p > 0.05，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀。
6.假设检验与置信区间
答案: n = 1699
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
解出 n
n = (2.576·8/0.5)² = 1699
向上取整
n = 1699
答案
n = 1699
7.线性回归与相关
答案: r = 0.9948
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 89/6 = 14.83
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 155
Syy = Σ(y − ȳ)² = 346.8
相关系数
r = 155/√(70·346.8) = 0.9948
答案
r = 0.9948
8.线性回归与相关
答案: e = −3.324
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 141/6 = 23.5
ȳ = 610/6 = 101.7
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 157.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 648
回归直线
b = 648/157.5 = 4.114
a = 101.7 − 4.114·23.5 = 4.981
ŷ = 4.981 + 4.114·x
预测值
ŷ = 4.981 + 4.114·20.5 = 89.32
残差
e = 86 − 89.32 = −3.324
答案
e = −3.324
该点位于直线下方。
9.卡方检验
答案: χ² = 30.95
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
城市: 60·20/100 = 12, 60·45/100 = 27, 60·35/100 = 21
农村: 40·20/100 = 8, 40·45/100 = 18, 40·35/100 = 14
卡方统计量
χ² = (16 − 12)²/12 + (36 − 27)²/27 + (8 − 21)²/21 + (4 − 8)²/8 + (9 − 18)²/18 + (27 − 14)²/14
χ² = 30.95
答案
χ² = 30.95
df = 2。在 α = 0.05 时临界值为 5.991，所以 H₀（独立）被拒绝。
10.卡方检验
答案: χ²crit = 15.51
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
自由度
df = (3 − 1)·(5 − 1) = 8
表
χ²crit(df = 8, α = 0.05) = 15.507
答案
χ²crit = 15.507
若计算出的 χ² 大于该值，则拒绝 H₀。
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