正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
统计学（二）：统计推断：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
卡方检验
- 检验统计量
- χ² = Σ(O − E)²/E
- 拟合优度
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- 独立性
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- 临界值（α = 0.05）
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- 决策
- 若 χ² > χ²crit，则拒绝 H0
2练习题
1.正态分布中等
拖动 z，使标准正态曲线下 z 右侧的阴影面积为 0.9484。求 z，保留两位小数。
A = 0.9484
z =
2.正态分布困难
电池寿命 服从正态分布，均值为 500 h，标准差为 40 h。拖动截断值，使阴影的后 25% 位于其左侧。求截断值 x。
μ = 500 hσ = 40 h25%
x = h
3.置信区间中等
比较两种手机型号的电池续航时间。型号 1：40 部手机，均值 107.5 h，已知标准差 13 h。型号 2：80 部手机，均值 121.5 h，已知标准差 5 h。 求 μ₁ − μ₂ 的 90% 置信区间的上限。
n₁ = 40x̄₁ = 107.5 hσ₁ = 13 hn₂ = 80x̄₂ = 121.5 hσ₂ = 5 h90%
上限 = h
4.置信区间困难
总体标准差为 29。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 95% 置信区间的误差范围不超过 1？
σ = 29E = 195%
n =
5.假设检验与置信区间中等
比较两种教学方法。第 1 组：10 名学生，平均分 98，标准差 2。第 2 组：6 名学生，平均分 99.7，标准差 7.5。假设总体方差相等，使用合并方差的两样本 t 检验。取差值为 x̄₁ − x̄₂（第 1 组减第 2 组），求 H₀: μ₁ = μ₂ 的检验统计量 t。
n₁ = 10x̄₁ = 98s₁ = 2n₂ = 6x̄₂ = 99.7s₂ = 7.5
t =
6.假设检验与置信区间困难
在一项试验中，接受治疗 A 的 120 名患者中有 54 人康复，接受治疗 B 的 120 名患者中有 36 人康复。用合并比例求 H₀: p₁ = p₂ 的检验统计量 z。
x₁ = 54n₁ = 120x₂ = 36n₂ = 120
z =
7.线性回归与相关中等
表中给出 5 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。 求皮尔逊相关系数 r。
n = 5
r =
8.线性回归与相关困难
表中给出 5 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 新得到一个观测值 (9, 29)。求其残差 e = y − ŷ。
n = 5(9, 29)
e =
9.卡方检验中等
列联表给出了观测频数。计算行变量与列变量独立性检验的卡方统计量 χ²。不使用连续性校正。
N = 1602 × 2
χ² =
10.卡方检验困难
一个卡方拟合优度检验将 11 个类别的观测频数与完全给定的期望比例进行比较（没有由数据估计的参数）。 利用表格，求显著性水平 α = 0.05 下的临界值 χ²crit。
α = 0.05
χ²crit =
3溶液
1.正态分布
答案: z = −1.63
由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。
z 左侧的面积
Φ(z) = 1 − 0.9484 = 0.0516
反向查 z 表
在表中找到 0.0516，读出 z。
z = −1.63
答案
z = −1.63
2.正态分布
答案: x = 473 h
由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。
左侧的面积
Φ(z) = 0.25
由表得到的 z
z ≈ −0.67
回到原来的单位
x = 500 − 0.67·40 = 473 h
答案
x = 473 h
3.置信区间
答案: 上限 = −10.5 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
点估计
x̄₁ − x̄₂ = 107.5 − 121.5 = −14
标准误
SE = √(13²/40 + 5²/80) = 2.13
误差范围
E = 1.645·2.13 = 3.504
区间
−14 ± 3.504 → [−17.5, −10.5]
答案
上限 = −10.5 h
区间不包含 0，所以两个均值有显著差异。
4.置信区间
答案: n = 3231
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
解出 n
n = (1.96·29/1)² = 3231
向上取整
样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。
n = 3231
答案
n = 3231
5.假设检验与置信区间
答案: t = −0.6916
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
合并方差
sp² = (9·2² + 5·7.5²)/14 = 22.66
sp = 4.76
标准误
SE = 4.76·√(1/10 + 1/6) = 2.458
检验统计量
t = (98 − 99.7)/2.458 = −0.6916
答案
t = −0.6916
df = 14 时，双侧 5% 的临界值为 2.145；|t| 更小，所以不拒绝 H₀。
6.假设检验与置信区间
答案: z = 2.4
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
样本比例
p̂₁ = 54/120 = 0.45
p̂₂ = 36/120 = 0.3
p̂ = 90/240 = 0.375
H₀ 下的标准误
SE = √(0.375·0.625·(1/120 + 1/120)) = 0.0625
检验统计量
z = (0.45 − 0.3)/0.0625 = 2.4
答案
z = 2.4
|z| > 1.96，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。
7.线性回归与相关
答案: r = 0.9625
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 120/5 = 24
ȳ = 456/5 = 91.2
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 90
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 342
Syy = Σ(y − ȳ)² = 1403
相关系数
r = 342/√(90·1403) = 0.9625
答案
r = 0.9625
8.线性回归与相关
答案: e = −1.65
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 109/5 = 21.8
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 118
回归直线
b = 118/40 = 2.95
a = 21.8 − 2.95·6 = 4.1
ŷ = 4.1 + 2.95·x
预测值
ŷ = 4.1 + 2.95·9 = 30.65
残差
e = 29 − 30.65 = −1.65
答案
e = −1.65
该点位于直线下方。
9.卡方检验
答案: χ² = 2.694
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
男性: 60·72/160 = 27, 60·88/160 = 33
女性: 100·72/160 = 45, 100·88/160 = 55
卡方统计量
χ² = (32 − 27)²/27 + (28 − 33)²/33 + (40 − 45)²/45 + (60 − 55)²/55
χ² = 2.694
答案
χ² = 2.694
df = 1。在 α = 0.05 时临界值为 3.841，所以 H₀（独立）不被拒绝。
10.卡方检验
答案: χ²crit = 18.31
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
自由度
df = 11 − 1 = 10
表
χ²crit(df = 10, α = 0.05) = 18.307
答案
χ²crit = 18.307
若计算出的 χ² 大于该值，则拒绝 H₀。
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