正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
统计学（二）：统计推断：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
卡方检验
- 检验统计量
- χ² = Σ(O − E)²/E
- 拟合优度
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- 独立性
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- 临界值（α = 0.05）
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- 决策
- 若 χ² > χ²crit，则拒绝 H0
2练习题
1.正态分布中等
拖动 z，使标准正态曲线下 z 右侧的阴影面积为 0.8770。求 z，保留两位小数。
A = 0.8770
z =
2.正态分布困难
配送时间服从正态分布，均值为 32 min，标准差为 6 min。求数值 x，使得有 75% 的数据低于它（第 75 百分位数）。
μ = 32σ = 6P = 75%
x = min
3.置信区间中等
测量 12 名患者治疗前后的血压。差值 d = 治疗前 − 治疗后 (mmHg) 的均值为 10，标准差为 6.6。 求平均差值的 95% 置信区间的误差范围 E。
n = 12d̄ = 10sd = 6.695%t(11) = 2.201
E = mmHg
4.置信区间困难
总体标准差为 39。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 95% 置信区间的误差范围不超过 1.5？
σ = 39E = 1.595%
n =
5.假设检验与置信区间中等
36 名学生的样本平均分为 46.5，样本标准差为 15。求 H₀: μ = 50 的检验统计量 t。
μ₀ = 50x̄ = 46.5s = 15n = 36
t =
6.假设检验与置信区间困难
在一项试验中，接受治疗 A 的 120 名患者中有 48 人康复，接受治疗 B 的 120 名患者中有 53 人康复。用合并比例求 H₀: p₁ = p₂ 的检验统计量 z。
x₁ = 48n₁ = 120x₂ = 53n₂ = 120
z =
7.线性回归与相关中等
表中给出 6 对观测值 x = 学习小时数 和 y = 考试成绩。 已给出它们的各项和。由这些和求皮尔逊相关系数 r。
n = 6Σx = 33Σy = 429Σx² = 199Σy² = 31275Σxy = 2457
r =
8.线性回归与相关困难
表中给出 6 对观测值 x = 广告支出 (k€) 和 y = 销售额 (k€)。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 新得到一个观测值 (3.5, 49)。求其残差 e = y − ŷ。
n = 6(3.5, 49)
e =
9.卡方检验中等
列联表给出了观测频数。计算行变量与列变量独立性检验的卡方统计量 χ²。不使用连续性校正。
N = 1602 × 3
χ² =
10.卡方检验困难
表中给出了观测频数。在 α = 0.01 下检验两个变量是否独立（不使用连续性校正）。计算检验统计量 χ²，再与表中的临界值比较。
N = 2203 × 2α = 0.01
χ² =
3溶液
1.正态分布
答案: z = −1.16
由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。
z 左侧的面积
Φ(z) = 1 − 0.8770 = 0.1230
反向查 z 表
在表中找到 0.1230，读出 z。
z = −1.16
答案
z = −1.16
2.正态分布
答案: x = 36.05 min
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
该百分位数对应的 z
Φ(z) = 0.75 → z = 0.6745
换算回 x
x = 32 + 0.6745·6 = 36.05 min
答案
x = 36.05 min
3.置信区间
答案: E = 4.193 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
临界值
df = 11, t = 2.201
误差范围
E = 2.201·6.6/√12 = 4.193
答案
E = 4.193 mmHg
4.置信区间
答案: n = 2597
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
解出 n
n = (1.96·39/1.5)² = 2597
向上取整
样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。
n = 2597
答案
n = 2597
5.假设检验与置信区间
答案: t = −1.4
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
标准误
SE = 15/√36 = 15/6 = 2.5
检验统计量
t = (46.5 − 50)/2.5 = −1.4
答案
t = −1.4
t0.025; df = 35 = 2.03
|t| < 2.03，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。
6.假设检验与置信区间
答案: z = −0.6537
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
样本比例
p̂₁ = 48/120 = 0.4
p̂₂ = 53/120 = 0.4417
p̂ = 101/240 = 0.4208
H₀ 下的标准误
SE = √(0.4208·0.5792·(1/120 + 1/120)) = 0.06374
检验统计量
z = (0.4 − 0.4417)/0.06374 = −0.6537
答案
z = −0.6537
|z| < 1.96，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。
7.线性回归与相关
答案: r = 0.9503
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
中心化后的和
Sxy = 2457 − 33·429/6 = 97.5
Sxx = 199 − 33²/6 = 17.5
Syy = 31275 − 429²/6 = 601.5
相关系数
r = 97.5/√(17.5·601.5) = 0.9503
答案
r = 0.9503
8.线性回归与相关
答案: e = 1.99
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 27/6 = 4.5
ȳ = 316/6 = 52.67
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 99
回归直线
b = 99/17.5 = 5.657
a = 52.67 − 5.657·4.5 = 27.21
ŷ = 27.21 + 5.657·x
预测值
ŷ = 27.21 + 5.657·3.5 = 47.01
残差
e = 49 − 47.01 = 1.99
答案
e = 1.99
该点位于直线上方。
9.卡方检验
答案: χ² = 4.88
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
白班: 60·32/160 = 12, 60·48/160 = 18, 60·80/160 = 30
夜班: 100·32/160 = 20, 100·48/160 = 30, 100·80/160 = 50
卡方统计量
χ² = (15 − 12)²/12 + (12 − 18)²/18 + (33 − 30)²/30 + (17 − 20)²/20 + (36 − 30)²/30 + (47 − 50)²/50
χ² = 4.88
答案
χ² = 4.88
df = 2。在 α = 0.05 时临界值为 5.991，所以 H₀（独立）不被拒绝。
10.卡方检验
答案: χ² = 11.09
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
18–30 岁: 24, 16
31–50 岁: 60, 40
51 岁及以上: 48, 32
卡方统计量
χ² = (18 − 24)²/24 + (22 − 16)²/16 + (55 − 60)²/60 + (45 − 40)²/40 + (59 − 48)²/48 + (21 − 32)²/32
χ² = 11.09
决策
df = 2, χ²crit = 9.210
11.09 > 9.210
答案
χ² = 11.09
χ² 高于临界值，所以拒绝 H₀：两个变量看起来是相关的。
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