正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
统计学（二）：统计推断：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
卡方检验
- 检验统计量
- χ² = Σ(O − E)²/E
- 拟合优度
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- 独立性
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- 临界值（α = 0.05）
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- 决策
- 若 χ² > χ²crit，则拒绝 H0
2练习题
1.正态分布中等
拖动 z，使标准正态曲线下 −z 与 z 之间的阴影面积为 0.5821。求 z，保留两位小数。
A = 0.5821
z =
2.正态分布困难
考试成绩服从正态分布，均值为 65 分，标准差为 10 分。求数值 x，使得有 10% 的数据低于它（第 10 百分位数）。
μ = 65σ = 10P = 10%
x = 分
3.置信区间中等
比较两种手机型号的电池续航时间。型号 1：30 部手机，均值 94.5 h，已知标准差 10 h。型号 2：80 部手机，均值 100 h，已知标准差 10 h。 求 μ₁ − μ₂ 的 95% 置信区间的误差范围 E。
n₁ = 30x̄₁ = 94.5 hσ₁ = 10 hn₂ = 80x̄₂ = 100 hσ₂ = 10 h95%
E = h
4.置信区间困难
总体标准差为 23。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 95% 置信区间的误差范围不超过 0.5？
σ = 23E = 0.595%
n =
5.假设检验与置信区间中等
64 名学生的样本平均分为 196.5，样本标准差为 20。求 H₀: μ = 200 的检验统计量 t。
μ₀ = 200x̄ = 196.5s = 20n = 64
t =
6.假设检验与置信区间困难
在一项试验中，接受治疗 A 的 80 名患者中有 40 人康复，接受治疗 B 的 250 名患者中有 100 人康复。用合并比例求 H₀: p₁ = p₂ 的检验统计量 z。
x₁ = 40n₁ = 80x₂ = 100n₂ = 250
z =
7.线性回归与相关中等
表中给出 6 对观测值 x = 广告支出 (k€) 和 y = 销售额 (k€)。 求皮尔逊相关系数 r。
n = 6
r =
8.线性回归与相关困难
表中给出 6 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 新得到一个观测值 (9, 16)。求其残差 e = y − ŷ。
n = 6(9, 16)
e =
9.卡方检验中等
列联表给出了观测频数。为进行卡方独立性检验，求单元格“夜班，轻微”的期望频数 E。
行合计 = 66列合计 = 30N = 137
E =
10.卡方检验困难
表中给出了观测频数。在 α = 0.05 下检验两个变量是否独立（不使用连续性校正）。计算检验统计量 χ²，再与表中的临界值比较。
N = 2203 × 2α = 0.05
χ² =
3溶液
1.正态分布
答案: z = 0.81
由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。
z 左侧的面积
Φ(z) = (1 + 0.5821)/2 = 0.7910
反向查 z 表
在表中找到 0.7910，读出 z。
z = 0.81
答案
z = 0.81
2.正态分布
答案: x = 52.18 分
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
该百分位数对应的 z
Φ(z) = 0.1 → z = −1.282
换算回 x
x = 65 + −1.282·10 = 52.18 分
答案
x = 52.18 分
3.置信区间
答案: E = 4.196 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
点估计
x̄₁ − x̄₂ = 94.5 − 100 = −5.5
标准误
SE = √(10²/30 + 10²/80) = 2.141
误差范围
E = 1.96·2.141 = 4.196
答案
E = 4.196 h
区间不包含 0，所以两个均值有显著差异。
4.置信区间
答案: n = 8129
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
解出 n
n = (1.96·23/0.5)² = 8129
向上取整
样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。
n = 8129
答案
n = 8129
5.假设检验与置信区间
答案: t = −1.4
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
标准误
SE = 20/√64 = 20/8 = 2.5
检验统计量
t = (196.5 − 200)/2.5 = −1.4
答案
t = −1.4
t0.025; df = 63 = 1.998
|t| < 1.998，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。
6.假设检验与置信区间
答案: z = 1.575
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
样本比例
p̂₁ = 40/80 = 0.5
p̂₂ = 100/250 = 0.4
p̂ = 140/330 = 0.4242
H₀ 下的标准误
SE = √(0.4242·0.5758·(1/80 + 1/250)) = 0.06348
检验统计量
z = (0.5 − 0.4)/0.06348 = 1.575
答案
z = 1.575
|z| < 1.96，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。
7.线性回归与相关
答案: r = 0.8511
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 27/6 = 4.5
ȳ = 228/6 = 38
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 37
Syy = Σ(y − ȳ)² = 108
相关系数
r = 37/√(17.5·108) = 0.8511
答案
r = 0.8511
8.线性回归与相关
答案: e = 1.752
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 68/6 = 11.33
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 102
回归直线
b = 102/70 = 1.457
a = 11.33 − 1.457·7 = 1.133
ŷ = 1.133 + 1.457·x
预测值
ŷ = 1.133 + 1.457·9 = 14.25
残差
e = 16 − 14.25 = 1.752
答案
e = 1.752
该点位于直线上方。
9.卡方检验
答案: E = 14.45
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
E = 66·30/137 = 14.45
答案
E = 14.45
10.卡方检验
答案: χ² = 16.35
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
工厂 A: 32, 48
工厂 B: 32, 48
工厂 C: 24, 36
卡方统计量
χ² = (31 − 32)²/32 + (49 − 48)²/48 + (21 − 32)²/32 + (59 − 48)²/48 + (36 − 24)²/24 + (24 − 36)²/36
χ² = 16.35
决策
df = 2, χ²crit = 5.991
16.35 > 5.991
答案
χ² = 16.35
χ² 高于临界值，所以拒绝 H₀：两个变量看起来是相关的。
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