正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
统计学（二）：统计推断：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
卡方检验
- 检验统计量
- χ² = Σ(O − E)²/E
- 拟合优度
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- 独立性
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- 临界值（α = 0.05）
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- 决策
- 若 χ² > χ²crit，则拒绝 H0
2练习题
1.正态分布中等
拖动 z，使标准正态曲线下 z 右侧的阴影面积为 0.1038。求 z，保留两位小数。
A = 0.1038
z =
2.正态分布困难
考试成绩 服从正态分布，均值为 65 分，标准差为 10 分。拖动截断值，使阴影的后 95% 位于其左侧。求截断值 x。
μ = 65 分σ = 10 分95%
x = 分
3.置信区间中等
测量 7 名患者治疗前后的血压。差值 d = 治疗前 − 治疗后 (mmHg) 的均值为 1.1，标准差为 0.5。 求平均差值的 99% 置信区间的下限。
n = 7d̄ = 1.1sd = 0.599%t(6) = 3.707
下限 = mmHg
4.置信区间困难
一项预研究表明，约有 0.6 的产品有缺陷。 必须检验多少件产品 n，才能使比例的 95% 置信区间的误差范围不超过 0.03？
p ≈ 0.6E = 0.0395%
n =
5.假设检验与置信区间中等
比较两种教学方法。第 1 组：11 名学生，平均分 85.5，标准差 2。第 2 组：10 名学生，平均分 82.2，标准差 9。假设总体方差相等，使用合并方差的两样本 t 检验。取差值为 x̄₁ − x̄₂（第 1 组减第 2 组），求 H₀: μ₁ = μ₂ 的检验统计量 t。
n₁ = 11x̄₁ = 85.5s₁ = 2n₂ = 10x̄₂ = 82.2s₂ = 9
t =
6.假设检验与置信区间困难
在 α = 0.05 下，用容量为 64 的样本对 H₀: μ = 200 与 H₁: μ < 200 进行单侧 z 检验；已知标准差为 20。实际上均值为 193.5。 求第二类错误的概率 β，以百分比表示。
μ₀ = 200μ = 193.5σ = 20n = 64α = 0.05
β = %
7.线性回归与相关中等
表中给出 6 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。 求皮尔逊相关系数 r。
n = 6
r =
8.线性回归与相关困难
表中给出 5 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 新得到一个观测值 (17, 95)。求其残差 e = y − ŷ。
n = 5(17, 95)
e =
9.卡方检验中等
列联表给出了观测频数。计算行变量与列变量独立性检验的卡方统计量 χ²。不使用连续性校正。
N = 1402 × 2
χ² =
10.卡方检验困难
表中给出了观测频数。在 α = 0.01 下检验两个变量是否独立（不使用连续性校正）。计算检验统计量 χ²，再与表中的临界值比较。
N = 2403 × 2α = 0.01
χ² =
3溶液
1.正态分布
答案: z = 1.26
由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。
z 左侧的面积
Φ(z) = 1 − 0.1038 = 0.8962
反向查 z 表
在表中找到 0.8962，读出 z。
z = 1.26
答案
z = 1.26
2.正态分布
答案: x = 81.4 分
由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。
左侧的面积
Φ(z) = 0.95
由表得到的 z
z ≈ 1.64
回到原来的单位
x = 65 + 1.64·10 = 81.4 分
答案
x = 81.4 分
3.置信区间
答案: 下限 = 0.3994 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
临界值
df = 6, t = 3.707
误差范围
E = 3.707·0.5/√7 = 0.7006
区间
1.1 ± 0.7006 → [0.3994, 1.801]
答案
下限 = 0.3994 mmHg
4.置信区间
答案: n = 1025
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.
解出 n
n = 1.96²·0.6·0.4/0.03² = 1024
向上取整
n = 1025
答案
n = 1025
5.假设检验与置信区间
答案: t = 1.187
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
合并方差
sp² = (10·2² + 9·9²)/19 = 40.47
sp = 6.362
标准误
SE = 6.362·√(1/11 + 1/10) = 2.78
检验统计量
t = (85.5 − 82.2)/2.78 = 1.187
答案
t = 1.187
df = 19 时，双侧 5% 的临界值为 2.093；|t| 更小，所以不拒绝 H₀。
6.假设检验与置信区间
答案: β = 16.98 %
检验功效：功效 = 1 − β，是 H₀ 为假时拒绝 H₀ 的概率。由 μ₀ 和 z_α 求出临界值 x̄c，再用真实均值计算落在 x̄c 以外的概率：z = (x̄c − μ)/(σ/√n)。
临界样本均值
SE = 20/√64 = 2.5
x̄c = 200 − 1.645·2.5 = 195.9
真实均值下的 z
z = (195.9 − 193.5)/2.5 = 0.955
第二类错误
功效 = P(Z < 0.955) = 83.02%
β = 100% − 83.02% = 16.98%
答案
β = 16.98%
7.线性回归与相关
答案: r = 0.984
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 93/6 = 15.5
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 129
Syy = Σ(y − ȳ)² = 245.5
相关系数
r = 129/√(70·245.5) = 0.984
答案
r = 0.984
8.线性回归与相关
答案: e = 4.15
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 90/5 = 18
ȳ = 487/5 = 97.4
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 262
回归直线
b = 262/40 = 6.55
a = 97.4 − 6.55·18 = −20.5
ŷ = −20.5 + 6.55·x
预测值
ŷ = −20.5 + 6.55·17 = 90.85
残差
e = 95 − 90.85 = 4.15
答案
e = 4.15
该点位于直线上方。
9.卡方检验
答案: χ² = 12.82
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
男性: 80·49/140 = 28, 80·91/140 = 52
女性: 60·49/140 = 21, 60·91/140 = 39
卡方统计量
χ² = (38 − 28)²/28 + (42 − 52)²/52 + (11 − 21)²/21 + (49 − 39)²/39
χ² = 12.82
答案
χ² = 12.82
df = 1。在 α = 0.05 时临界值为 3.841，所以 H₀（独立）被拒绝。
10.卡方检验
答案: χ² = 10.08
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
工厂 A: 45, 15
工厂 B: 75, 25
工厂 C: 60, 20
卡方统计量
χ² = (36 − 45)²/45 + (24 − 15)²/15 + (82 − 75)²/75 + (18 − 25)²/25 + (62 − 60)²/60 + (18 − 20)²/20
χ² = 10.08
决策
df = 2, χ²crit = 9.210
10.08 > 9.210
答案
χ² = 10.08
χ² 高于临界值，所以拒绝 H₀：两个变量看起来是相关的。
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