正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
统计学（二）：统计推断：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
卡方检验
- 检验统计量
- χ² = Σ(O − E)²/E
- 拟合优度
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- 独立性
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- 临界值（α = 0.05）
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- 决策
- 若 χ² > χ²crit，则拒绝 H0
2练习题
1.正态分布中等
智商分数服从正态分布，均值为 100 分，标准差为 15 分。介于 88.75 和 103.75 分 之间的比例是多少？P 以小数表示。
μ = 100σ = 15x1 = 88.75x2 = 103.75
P =
2.正态分布困难
考试成绩服从正态分布，均值为 65 分，标准差为 10 分。求数值 x，使得有 75% 的数据低于它（第 75 百分位数）。
μ = 65σ = 10P = 75%
x = 分
3.置信区间中等
比较两种手机型号的电池续航时间。型号 1：100 部手机，均值 70 h，已知标准差 9 h。型号 2：60 部手机，均值 74 h，已知标准差 15 h。 求 μ₁ − μ₂ 的 95% 置信区间的上限。
n₁ = 100x̄₁ = 70 hσ₁ = 9 hn₂ = 60x̄₂ = 74 hσ₂ = 15 h95%
上限 = h
4.置信区间困难
一项预研究表明，约有 0.3 的产品有缺陷。 必须检验多少件产品 n，才能使比例的 95% 置信区间的误差范围不超过 0.03？
p ≈ 0.3E = 0.0395%
n =
5.假设检验与置信区间中等
81 名学生的样本平均分为 201.3，样本标准差为 10。求 H₀: μ = 200 的检验统计量 t。
μ₀ = 200x̄ = 201.3s = 10n = 81
t =
6.假设检验与置信区间困难
81 次测量的样本均值为 201.2。总体标准差为 5。求均值 99% 置信区间的上限 U。
x̄ = 201.2σ = 5n = 8199%
U =
7.线性回归与相关中等
表中给出 5 对观测值 x = 车龄（年） 和 y = 价格 (k€)。 求皮尔逊相关系数 r。
n = 5
r =
8.线性回归与相关困难
表中给出 5 对观测值 x = 广告支出 (k€) 和 y = 销售额 (k€)。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 预测 x = 3 时的 ŷ。
n = 5x = 3
ŷ =
9.卡方检验中等
列联表给出了观测频数。计算行变量与列变量独立性检验的卡方统计量 χ²。不使用连续性校正。
N = 802 × 3
χ² =
10.卡方检验困难
表中给出了观测频数。在 α = 0.01 下检验两个变量是否独立（不使用连续性校正）。计算检验统计量 χ²，再与表中的临界值比较。
N = 2003 × 2α = 0.01
χ² =
3溶液
1.正态分布
答案: P = 0.3721
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
z 分数
z₁ = (88.75 − 100)/15 = −0.75
z₂ = (103.75 − 100)/15 = 0.25
中间面积
P = Φ(0.25) − Φ(−0.75) = 0.5987 − 0.2266 = 0.3721
答案
P = 0.3721
2.正态分布
答案: x = 71.75 分
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
该百分位数对应的 z
Φ(z) = 0.75 → z = 0.6745
换算回 x
x = 65 + 0.6745·10 = 71.75 分
答案
x = 71.75 分
3.置信区间
答案: 上限 = 0.1854 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
点估计
x̄₁ − x̄₂ = 70 − 74 = −4
标准误
SE = √(9²/100 + 15²/60) = 2.135
误差范围
E = 1.96·2.135 = 4.185
区间
−4 ± 4.185 → [−8.185, 0.1854]
答案
上限 = 0.1854 h
区间包含 0，所以数据没有显示出显著差异。
4.置信区间
答案: n = 897
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.
解出 n
n = 1.96²·0.3·0.7/0.03² = 896.4
向上取整
n = 897
答案
n = 897
5.假设检验与置信区间
答案: t = 1.17
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
标准误
SE = 10/√81 = 10/9 = 1.111
检验统计量
t = (201.3 − 200)/1.111 = 1.17
答案
t = 1.17
t0.025; df = 80 = 1.99
|t| < 1.99，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。
6.假设检验与置信区间
答案: U = 202.6
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
误差范围
E = 2.576·5/√81 = 1.431
区间端点
U = 201.2 + 1.431 = 202.6
答案
U = 202.6
7.线性回归与相关
答案: r = −0.9297
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 100/5 = 20
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −22
Syy = Σ(y − ȳ)² = 56
相关系数
r = −22/√(10·56) = −0.9297
答案
r = −0.9297
8.线性回归与相关
答案: ŷ = 38.5
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 263/5 = 52.6
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 188
回归直线
b = 188/40 = 4.7
a = 52.6 − 4.7·6 = 24.4
ŷ = 24.4 + 4.7·x
预测
ŷ = 24.4 + 4.7·3 = 38.5
答案
ŷ = 38.5
9.卡方检验
答案: χ² = 1.986
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
学生: 40·20/80 = 10, 40·28/80 = 14, 40·32/80 = 16
教职工: 40·20/80 = 10, 40·28/80 = 14, 40·32/80 = 16
卡方统计量
χ² = (11 − 10)²/10 + (11 − 14)²/14 + (18 − 16)²/16 + (9 − 10)²/10 + (17 − 14)²/14 + (14 − 16)²/16
χ² = 1.986
答案
χ² = 1.986
df = 2。在 α = 0.05 时临界值为 5.991，所以 H₀（独立）不被拒绝。
10.卡方检验
答案: χ² = 8.036
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
18–30 岁: 24, 56
31–50 岁: 24, 56
51 岁及以上: 12, 28
卡方统计量
χ² = (25 − 24)²/24 + (55 − 56)²/56 + (30 − 24)²/24 + (50 − 56)²/56 + (5 − 12)²/12 + (35 − 28)²/28
χ² = 8.036
决策
df = 2, χ²crit = 9.210
8.036 < 9.210
答案
χ² = 8.036
χ² 低于临界值，所以不拒绝 H₀：没有显著证据表明两者相关。
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