统计学（二）：统计推断：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

置信区间

σ 已知: x̄ ± z·σ/√n
σ 未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量: n = (z·σ/E)², rounded up

方法

在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
求该置信水平下的临界值。
误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
均值的 t 检验: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧: 若 |z| > 1.96 则拒绝 H₀
置信区间: x̄ ± z·σ/√n

方法

写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
与临界值比较，或求出 p 值。
若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

线性回归与相关

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
斜率: b = S_xy/S_xx
截距: a = ȳ − b·x̄
相关系数: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

卡方检验

检验统计量: χ² = Σ(O − E)²/E
拟合优度: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
独立性: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
临界值（α = 0.05）: df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
决策: 若 χ² > χ²_crit，则拒绝 H₀

2练习题

1.正态分布中等

X 服从均值 250 g、标准差 4 g 的正态分布；Y 独立，服从均值 500 g、标准差 9 g 的正态分布。求 X + Y 大于 762.3 g 的概率 P。z 取两位小数。

μ_X = 250, σ_X = 4μ_Y = 500, σ_Y = 9X + Y > 762.3 g

P =

2.正态分布困难

袋装重量服从正态分布，均值为 250 g，标准差为 5 g。求数值 x，使得有 10% 的数据低于它（第 10 百分位数）。

μ = 250σ = 5P = 10%

x = g

3.置信区间中等

测量 11 名患者治疗前后的血压。差值 d = 治疗前 − 治疗后 (mmHg) 的均值为 7.1，标准差为 6.1。求平均差值的 95% 置信区间的上限。

n = 11d̄ = 7.1s_d = 6.195%t(10) = 2.228

上限 = mmHg

4.置信区间困难

对两种肥料进行试验。地块组 1：12 块地，平均产量 10.5 kg，标准差 6 kg。地块组 2：5 块地，均值 17.5 kg，标准差 6 kg。假设方差相等（合并 t，df = n₁ + n₂ − 2）。求 μ₁ − μ₂ 的 95% 置信区间的误差范围 E。

n₁ = 12x̄₁ = 10.5s₁ = 6n₂ = 5x̄₂ = 17.5s₂ = 695%t(15) = 2.131

E = kg

5.假设检验与置信区间中等

11 名员工在培训课程前后各参加一次打字测试。记录每人的差值 d = 培训后 − 培训前（每分钟字数）。平均差值为 4.92，差值的标准差为 9.6。求 H₀: μ_d = 0 的配对检验统计量 t。

n = 11d̄ = 4.92s_d = 9.6

t =

6.假设检验与置信区间困难

在一项试验中，接受治疗 A 的 200 名患者中有 130 人康复，接受治疗 B 的 200 名患者中有 158 人康复。用合并比例求 H₀: p₁ = p₂ 的检验统计量 z。

x₁ = 130n₁ = 200x₂ = 158n₂ = 200

z =

7.线性回归与相关中等

表中给出 6 对观测值 x = 车龄（年）和 y = 价格 (k€)。求皮尔逊相关系数 r。

n = 6

r =

8.线性回归与相关困难

表中给出 5 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。新得到一个观测值 (25.5, 106)。求其残差 e = y − ŷ。

n = 5(25.5, 106)

e =

9.卡方检验中等

列联表给出了观测频数。计算行变量与列变量独立性检验的卡方统计量 χ²。不使用连续性校正。

N = 1802 × 3

χ² =

10.卡方检验困难

表中给出了观测频数。在 α = 0.01 下检验两个变量是否独立（不使用连续性校正）。计算检验统计量 χ²，再与表中的临界值比较。

N = 1803 × 2α = 0.01

χ² =

3溶液

1.正态分布

答案: P = 0.1056

正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²，所以 σ = √(σ_X² + σ_Y²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。

和的分布

μ = 750 g, σ = √(4² + 9²) = 9.849 g

标准化

z = (762.3 − 750)/9.849 = 1.25

上尾

P = 1 − Φ(1.25) = 1 − 0.8944 = 0.1056

答案

P = 0.1056

2.正态分布

答案: x = 243.6 g

正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。

该百分位数对应的 z

Φ(z) = 0.1 → z = −1.282

换算回 x

x = 250 + −1.282·5 = 243.59 g

答案

x = 243.59 g

3.置信区间

答案: 上限 = 11.2 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

临界值

df = 10, t = 2.228

误差范围

E = 2.228·6.1/√11 = 4.098

区间

7.1 ± 4.098 → [3.002, 11.2]

答案

上限 = 11.2 mmHg

4.置信区间

答案: E = 6.806 kg

合并标准差

s_p² = (11·6² + 4·6²)/15 = 36

s_p = 6

误差范围

E = 2.131·6·√(1/12 + 1/5) = 6.806

答案

E = 6.806 kg

5.假设检验与置信区间

答案: t = 1.7

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

平均差值的标准误

SE = 9.6/√11 = 2.895

检验统计量

t = 4.92/2.895 = 1.7

答案

t = 1.7

df = 10 时，双侧 5% 的临界值为 2.228；|t| 更小，所以不拒绝 H₀。

6.假设检验与置信区间

答案: z = −3.118

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

样本比例

p̂₁ = 130/200 = 0.65

p̂₂ = 158/200 = 0.79

p̂ = 288/400 = 0.72

H₀ 下的标准误

SE = √(0.72·0.28·(1/200 + 1/200)) = 0.0449

检验统计量

z = (0.65 − 0.79)/0.0449 = −3.118

答案

z = −3.118

|z| > 1.96，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。

7.线性回归与相关

答案: r = −0.9348

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

均值

x̄ = 21/6 = 3.5

ȳ = 137/6 = 22.83

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −30.5

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 60.83

答案

r = −0.9348

8.线性回归与相关

答案: e = −1.9

均值

x̄ = 105/5 = 21

ȳ = 436/5 = 87.2

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 90

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 414

回归直线

b = 414/90 = 4.6

a = 87.2 − 4.6·21 = −9.4

ŷ = −9.4 + 4.6·x

预测值

ŷ = −9.4 + 4.6·25.5 = 107.9

残差

e = 106 − 107.9 = −1.9

答案

e = −1.9

该点位于直线下方。

9.卡方检验

答案: χ² = 11.46

卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。

期望频数

白班: 100·27/180 = 15, 100·72/180 = 40, 100·81/180 = 45

夜班: 80·27/180 = 12, 80·72/180 = 32, 80·81/180 = 36

卡方统计量

χ² = (13 − 15)²/15 + (51 − 40)²/40 + (36 − 45)²/45 + (14 − 12)²/12 + (21 − 32)²/32 + (45 − 36)²/36

χ² = 11.46

答案

χ² = 11.46

df = 2。在 α = 0.05 时临界值为 5.991，所以 H₀（独立）被拒绝。

10.卡方检验

答案: χ² = 1.746

期望频数

生产线 1: 24, 56

生产线 2: 18, 42

生产线 3: 12, 28

卡方统计量

χ² = (20 − 24)²/24 + (60 − 56)²/56 + (20 − 18)²/18 + (40 − 42)²/42 + (14 − 12)²/12 + (26 − 28)²/28

χ² = 1.746

决策

df = 2, χ²_crit = 9.210

1.746 < 9.210

答案

χ² = 1.746

χ² 低于临界值，所以不拒绝 H₀：没有显著证据表明两者相关。

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