正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
统计学（二）：统计推断：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
卡方检验
- 检验统计量
- χ² = Σ(O − E)²/E
- 拟合优度
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- 独立性
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- 临界值（α = 0.05）
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- 决策
- 若 χ² > χ²crit，则拒绝 H0
2练习题
1.正态分布中等
考试成绩服从正态分布，均值为 65 分，标准差为 10 分。介于 55 和 80 分 之间的比例是多少？P 以小数表示。
μ = 65σ = 10x1 = 55x2 = 80
P =
2.正态分布困难
成年男性的身高服从正态分布，均值为 178 cm，标准差为 7 cm。求数值 x，使得有 5% 的数据低于它（第 5 百分位数）。
μ = 178σ = 7P = 5%
x = cm
3.置信区间中等
测量 20 名患者治疗前后的血压。差值 d = 治疗前 − 治疗后 (mmHg) 的均值为 −8.2，标准差为 2.4。 求平均差值的 95% 置信区间的下限。
n = 20d̄ = −8.2sd = 2.495%t(19) = 2.093
下限 = mmHg
4.置信区间困难
21 根机加工轴的直径样本标准差为 10.6 µm。假设直径服从正态分布，求总体标准差 95% 置信区间的上限 σ。df = 20 时，χ² 分布有 2.5% 位于 9.591 以下，2.5% 位于 34.17 以上。
n = 21s = 10.6 µmχ² = 9.591, 34.17
σ = µm
5.假设检验与置信区间中等
8 名员工在培训课程前后各参加一次打字测试。记录每人的差值 d = 培训后 − 培训前（每分钟字数）。平均差值为 −7.65，差值的标准差为 10.3。求 H₀: μd = 0 的配对检验统计量 t。
n = 8d̄ = −7.65sd = 10.3
t =
6.假设检验与置信区间困难
在一项试验中，接受治疗 A 的 250 名患者中有 125 人康复，接受治疗 B 的 200 名患者中有 78 人康复。用合并比例求 H₀: p₁ = p₂ 的检验统计量 z。
x₁ = 125n₁ = 250x₂ = 78n₂ = 200
z =
7.线性回归与相关中等
表中给出 6 对观测值 x = 广告支出 (k€) 和 y = 销售额 (k€)。 求最小二乘直线的决定系数 r²。
n = 6
r² =
8.线性回归与相关困难
表中给出 6 对观测值 x = 车龄（年） 和 y = 价格 (k€)。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 预测 x = 1.5 时的 ŷ。
n = 6x = 1.5
ŷ =
9.卡方检验中等
列联表给出了观测频数。为进行卡方独立性检验，求单元格“学生，公交车”的期望频数 E。
行合计 = 88列合计 = 28N = 153
E =
10.卡方检验困难
一个卡方拟合优度检验将 10 个类别的观测频数与完全给定的期望比例进行比较（没有由数据估计的参数）。 该检验的自由度 df 是多少？
k = 10
df =
3溶液
1.正态分布
答案: P = 0.7745
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
z 分数
z₁ = (55 − 65)/10 = −1
z₂ = (80 − 65)/10 = 1.5
中间面积
P = Φ(1.5) − Φ(−1) = 0.9332 − 0.1587 = 0.7745
答案
P = 0.7745
2.正态分布
答案: x = 166.5 cm
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
该百分位数对应的 z
Φ(z) = 0.05 → z = −1.645
换算回 x
x = 178 + −1.645·7 = 166.49 cm
答案
x = 166.49 cm
3.置信区间
答案: 下限 = −9.323 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
临界值
df = 19, t = 2.093
误差范围
E = 2.093·2.4/√20 = 1.123
区间
−8.2 ± 1.123 → [−9.323, −7.077]
答案
下限 = −9.323 mmHg
4.置信区间
答案: σ = 15.31 µm
方差的区间：(n − 1)s²/σ² 服从自由度为 n − 1 的 χ² 分布。σ² 的 95% 区间从 (n − 1)s² 除以上侧 χ² 值（其上方占 2.5%）到 (n − 1)s² 除以下侧 χ² 值（其下方占 2.5%）；σ 的区间是这两个限值的平方根。它关于 s 不对称。
平方和
(n − 1)s² = 20·10.6² = 2247
σ² 的限值
2247/34.17 = 65.77
2247/9.591 = 234.3
σ 的限值
σ = √234.3 = 15.31 µm
答案
σ = 15.31 µm
σ 的 95% 区间：[8.11, 15.31] µm。
5.假设检验与置信区间
答案: t = −2.101
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
平均差值的标准误
SE = 10.3/√8 = 3.642
检验统计量
t = −7.65/3.642 = −2.101
答案
t = −2.101
df = 7 时，双侧 5% 的临界值为 2.365；|t| 更小，所以不拒绝 H₀。
6.假设检验与置信区间
答案: z = 2.33
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
样本比例
p̂₁ = 125/250 = 0.5
p̂₂ = 78/200 = 0.39
p̂ = 203/450 = 0.4511
H₀ 下的标准误
SE = √(0.4511·0.5489·(1/250 + 1/200)) = 0.04721
检验统计量
z = (0.5 − 0.39)/0.04721 = 2.33
答案
z = 2.33
|z| > 1.96，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。
7.线性回归与相关
答案: r² = 0.9754
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 399/6 = 66.5
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 247
Syy = Σ(y − ȳ)² = 893.5
决定系数
r² = 247²/(70·893.5) = 0.9754
答案
r² = 0.9754
y 的变异中约有 97.54% 可由该直线解释。
8.线性回归与相关
答案: ŷ = 27.03
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 21/6 = 3.5
ȳ = 131/6 = 21.83
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −45.5
回归直线
b = −45.5/17.5 = −2.6
a = 21.83 − (−2.6)·3.5 = 30.93
ŷ = 30.93 − 2.6·x
预测
ŷ = 30.93 + (−2.6)·1.5 = 27.03
答案
ŷ = 27.03
9.卡方检验
答案: E = 16.1
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
E = 88·28/153 = 16.1
答案
E = 16.1
10.卡方检验
答案: df = 9
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
自由度
df = 10 − 1 = 9
答案
df = 9
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