正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
统计学（二）：统计推断：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
卡方检验
- 检验统计量
- χ² = Σ(O − E)²/E
- 拟合优度
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- 独立性
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- 临界值（α = 0.05）
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- 决策
- 若 χ² > χ²crit，则拒绝 H0
2练习题
1.正态分布中等
带行李的乘客的质量相互独立，服从均值 85 kg、标准差 12 kg 的正态分布。求其中 12 个的总质量超过 957.6 kg 的概率 P。z 取两位小数。
μ = 85 kgσ = 12 kgn = 12> 957.6 kg
P =
2.正态分布困难
袋装重量服从正态分布，均值为 250 g，标准差为 5 g。求数值 x，使得有 20% 的数据低于它（第 20 百分位数）。
μ = 250σ = 5P = 20%
x = g
3.置信区间中等
测量 7 名患者治疗前后的血压。差值 d = 治疗前 − 治疗后 (mmHg) 的均值为 −8，标准差为 2.9。 求平均差值的 90% 置信区间的误差范围 E。
n = 7d̄ = −8sd = 2.990%t(6) = 1.943
E = mmHg
4.置信区间困难
30 根机加工轴的直径样本标准差为 2.5 µm。假设直径服从正态分布，求总体标准差 95% 置信区间的上限 σ。df = 29 时，χ² 分布有 2.5% 位于 16.047 以下，2.5% 位于 45.722 以上。
n = 30s = 2.5 µmχ² = 16.047, 45.722
σ = µm
5.假设检验与置信区间中等
12 名员工在培训课程前后各参加一次打字测试。记录每人的差值 d = 培训后 − 培训前（每分钟字数）。平均差值为 1.39，差值的标准差为 4。求 H₀: μd = 0 的配对检验统计量 t。
n = 12d̄ = 1.39sd = 4
t =
6.假设检验与置信区间困难
25 次测量的样本均值为 200.6。总体标准差为 8。求均值 90% 置信区间的上限 U。
x̄ = 200.6σ = 8n = 2590%
U =
7.线性回归与相关中等
表中给出 6 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。 求最小二乘直线的决定系数 r²。
n = 6
r² =
8.线性回归与相关困难
表中给出 6 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 新得到一个观测值 (22.5, 99)。求其残差 e = y − ŷ。
n = 6(22.5, 99)
e =
9.卡方检验中等
列联表给出了观测频数。为进行卡方独立性检验，求单元格“农村，低”的期望频数 E。
行合计 = 68列合计 = 39N = 156
E =
10.卡方检验困难
表中给出了观测频数。在 α = 0.01 下检验两个变量是否独立（不使用连续性校正）。计算检验统计量 χ²，再与表中的临界值比较。
N = 2203 × 2α = 0.01
χ² =
3溶液
1.正态分布
答案: P = 0.9332
正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μX ± μY。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σX² + σY²，所以 σ = √(σX² + σY²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。
总和的分布
μT = 1020 kg, σT = 12·√12 = 41.57 kg
标准化
z = (957.6 − 1020)/41.57 = −1.5
概率
P = 1 − Φ(−1.5) = 0.9332
答案
P = 0.9332
2.正态分布
答案: x = 245.8 g
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
该百分位数对应的 z
Φ(z) = 0.2 → z = −0.8416
换算回 x
x = 250 + −0.8416·5 = 245.79 g
答案
x = 245.79 g
3.置信区间
答案: E = 2.13 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
临界值
df = 6, t = 1.943
误差范围
E = 1.943·2.9/√7 = 2.13
答案
E = 2.13 mmHg
4.置信区间
答案: σ = 3.361 µm
方差的区间：(n − 1)s²/σ² 服从自由度为 n − 1 的 χ² 分布。σ² 的 95% 区间从 (n − 1)s² 除以上侧 χ² 值（其上方占 2.5%）到 (n − 1)s² 除以下侧 χ² 值（其下方占 2.5%）；σ 的区间是这两个限值的平方根。它关于 s 不对称。
平方和
(n − 1)s² = 29·2.5² = 181.3
σ² 的限值
181.3/45.722 = 3.964
181.3/16.047 = 11.29
σ 的限值
σ = √11.29 = 3.361 µm
答案
σ = 3.361 µm
σ 的 95% 区间：[1.991, 3.361] µm。
5.假设检验与置信区间
答案: t = 1.204
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
平均差值的标准误
SE = 4/√12 = 1.155
检验统计量
t = 1.39/1.155 = 1.204
答案
t = 1.204
df = 11 时，双侧 5% 的临界值为 2.201；|t| 更小，所以不拒绝 H₀。
6.假设检验与置信区间
答案: U = 203.2
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
误差范围
E = 1.645·8/√25 = 2.632
区间端点
U = 200.6 + 2.632 = 203.2
答案
U = 203.2
7.线性回归与相关
答案: r² = 0.9841
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 119/6 = 19.83
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 167
Syy = Σ(y − ȳ)² = 404.8
决定系数
r² = 167²/(70·404.8) = 0.9841
答案
r² = 0.9841
y 的变异中约有 98.41% 可由该直线解释。
8.线性回归与相关
答案: e = 2.229
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 153/6 = 25.5
ȳ = 666/6 = 111
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 157.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 747
回归直线
b = 747/157.5 = 4.743
a = 111 − 4.743·25.5 = −9.943
ŷ = −9.943 + 4.743·x
预测值
ŷ = −9.943 + 4.743·22.5 = 96.77
残差
e = 99 − 96.77 = 2.229
答案
e = 2.229
该点位于直线上方。
9.卡方检验
答案: E = 17
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
E = 68·39/156 = 17
答案
E = 17
10.卡方检验
答案: χ² = 2.52
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
生产线 1: 18, 42
生产线 2: 24, 56
生产线 3: 24, 56
卡方统计量
χ² = (17 − 18)²/18 + (43 − 42)²/42 + (20 − 24)²/24 + (60 − 56)²/56 + (29 − 24)²/24 + (51 − 56)²/56
χ² = 2.52
决策
df = 2, χ²crit = 9.210
2.52 < 9.210
答案
χ² = 2.52
χ² 低于临界值，所以不拒绝 H₀：没有显著证据表明两者相关。
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