正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
统计学（二）：统计推断：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
卡方检验
- 检验统计量
- χ² = Σ(O − E)²/E
- 拟合优度
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- 独立性
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- 临界值（α = 0.05）
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- 决策
- 若 χ² > χ²crit，则拒绝 H0
2练习题
1.正态分布中等
拖动 z，使标准正态曲线下 −z 与 z 之间的阴影面积为 0.9556。求 z，保留两位小数。
A = 0.9556
z =
2.正态分布困难
孔径 D 服从均值 25.03 mm、标准差 0.01 mm 的正态分布。轴径 d 独立，服从均值 25 mm、标准差 0.015 mm 的正态分布。随机选取的一根轴在 D − d > 0 时能装入。求它能装入的概率 P。z 取两位小数。
孔: μ = 25.03 mm, σ = 0.01 mm轴: μ = 25 mm, σ = 0.015 mm
P =
3.置信区间中等
基于 50 个观测值且 σ 已知的均值 99% 置信区间，其误差范围为 4.5。 如果同一研究改用 100 个观测值，误差范围 E₂ 是多少？
99%n₁ = 50E₁ = 4.5n₂ = 100
E₂ =
4.置信区间困难
总体标准差为 24。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 95% 置信区间的误差范围不超过 1.5？
σ = 24E = 1.595%
n =
5.假设检验与置信区间中等
12 名员工在培训课程前后各参加一次打字测试。记录每人的差值 d = 培训后 − 培训前（每分钟字数）。平均差值为 7.25，差值的标准差为 8.1。求 H₀: μd = 0 的配对检验统计量 t。
n = 12d̄ = 7.25sd = 8.1
t =
6.假设检验与置信区间困难
在 α = 0.01 下，用容量为 64 的样本对 H₀: μ = 80 与 H₁: μ < 80 进行单侧 z 检验；已知标准差为 16。实际上均值为 75.4。 求该检验的功效 1 − β，以百分比表示。
μ₀ = 80μ = 75.4σ = 16n = 64α = 0.01
1 − β = %
7.线性回归与相关中等
表中给出 6 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。 已给出它们的各项和。由这些和求皮尔逊相关系数 r。
n = 6Σx = 126Σy = 608Σx² = 2716Σy² = 63130Σxy = 13086
r =
8.线性回归与相关困难
表中给出 6 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 新得到一个观测值 (16.5, 25)。求其残差 e = y − ŷ。
n = 6(16.5, 25)
e =
9.卡方检验中等
列联表给出了观测频数。计算行变量与列变量独立性检验的卡方统计量 χ²。不使用连续性校正。
N = 1602 × 2
χ² =
10.卡方检验困难
表中给出了观测频数。在 α = 0.01 下检验两个变量是否独立（不使用连续性校正）。计算检验统计量 χ²，再与表中的临界值比较。
N = 2203 × 2α = 0.01
χ² =
3溶液
1.正态分布
答案: z = 2.01
由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。
z 左侧的面积
Φ(z) = (1 + 0.9556)/2 = 0.9778
反向查 z 表
在表中找到 0.9778，读出 z。
z = 2.01
答案
z = 2.01
2.正态分布
答案: P = 0.9515
正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μX ± μY。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σX² + σY²，所以 σ = √(σX² + σY²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。
差的分布
μ = 25.03 − 25 = 0.03 mm, σ = 0.01803 mm
标准化
z = (0 − 0.03)/0.01803 = −1.66
概率
P = 1 − Φ(−1.66) = 0.9515
答案
P = 0.9515
3.置信区间
答案: E₂ = 3.182
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
误差范围之比
E₂/E₁ = (2.576/2.576)·√(50/100) = 0.7071
新的误差范围
E₂ = 4.5·0.7071 = 3.182
答案
E₂ = 3.182
4.置信区间
答案: n = 984
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
解出 n
n = (1.96·24/1.5)² = 983.4
向上取整
样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。
n = 984
答案
n = 984
5.假设检验与置信区间
答案: t = 3.101
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
平均差值的标准误
SE = 8.1/√12 = 2.338
检验统计量
t = 7.25/2.338 = 3.101
答案
t = 3.101
df = 11 时，双侧 5% 的临界值为 2.201；|t| 更大，所以拒绝 H₀。
6.假设检验与置信区间
答案: 1 − β = 48.96 %
检验功效：功效 = 1 − β，是 H₀ 为假时拒绝 H₀ 的概率。由 μ₀ 和 z_α 求出临界值 x̄c，再用真实均值计算落在 x̄c 以外的概率：z = (x̄c − μ)/(σ/√n)。
临界样本均值
SE = 16/√64 = 2
x̄c = 80 − 2.326·2 = 75.35
真实均值下的 z
z = (75.35 − 75.4)/2 = −0.026
功率
功效 = P(Z < −0.026) = 48.96%
1 − β = 48.96%
答案
1 − β = 48.96%
7.线性回归与相关
答案: r = 0.9751
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
中心化后的和
Sxy = 13086 − 126·608/6 = 318
Sxx = 2716 − 126²/6 = 70
Syy = 63130 − 608²/6 = 1519
相关系数
r = 318/√(70·1519) = 0.9751
答案
r = 0.9751
8.线性回归与相关
答案: e = −5
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 135/6 = 22.5
ȳ = 300/6 = 50
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 157.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 525
回归直线
b = 525/157.5 = 3.333
a = 50 − 3.333·22.5 = −25
ŷ = −25 + 3.333·x
预测值
ŷ = −25 + 3.333·16.5 = 30
残差
e = 25 − 30 = −5
答案
e = −5
该点位于直线下方。
9.卡方检验
答案: χ² = 17.07
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
新药: 80·72/160 = 36, 80·88/160 = 44
安慰剂: 80·72/160 = 36, 80·88/160 = 44
卡方统计量
χ² = (23 − 36)²/36 + (57 − 44)²/44 + (49 − 36)²/36 + (31 − 44)²/44
χ² = 17.07
答案
χ² = 17.07
df = 1。在 α = 0.05 时临界值为 3.841，所以 H₀（独立）被拒绝。
10.卡方检验
答案: χ² = 19.83
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
工厂 A: 60, 40
工厂 B: 48, 32
工厂 C: 24, 16
卡方统计量
χ² = (76 − 60)²/60 + (24 − 40)²/40 + (36 − 48)²/48 + (44 − 32)²/32 + (20 − 24)²/24 + (20 − 16)²/16
χ² = 19.83
决策
df = 2, χ²crit = 9.210
19.83 > 9.210
答案
χ² = 19.83
χ² 高于临界值，所以拒绝 H₀：两个变量看起来是相关的。
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