统计学（二）：统计推断：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

置信区间

σ 已知: x̄ ± z·σ/√n
σ 未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量: n = (z·σ/E)², rounded up

方法

在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
求该置信水平下的临界值。
误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
均值的 t 检验: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧: 若 |z| > 1.96 则拒绝 H₀
置信区间: x̄ ± z·σ/√n

方法

写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
与临界值比较，或求出 p 值。
若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

线性回归与相关

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
斜率: b = S_xy/S_xx
截距: a = ȳ − b·x̄
相关系数: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

卡方检验

检验统计量: χ² = Σ(O − E)²/E
拟合优度: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
独立性: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
临界值（α = 0.05）: df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
决策: 若 χ² > χ²_crit，则拒绝 H₀

2练习题

1.正态分布中等

袋装重量服从正态分布，均值为 250 g，标准差为 5 g。介于 240 和 255.25 g 之间的比例是多少？P 以小数表示。

μ = 250σ = 5x₁ = 240x₂ = 255.25

P =

2.正态分布困难

孔径 D 服从均值 25.05 mm、标准差 0.015 mm 的正态分布。轴径 d 独立，服从均值 25 mm、标准差 0.015 mm 的正态分布。随机选取的一根轴在 D − d > 0 时能装入。求它能装入的概率 P。z 取两位小数。

孔: μ = 25.05 mm, σ = 0.015 mm轴: μ = 25 mm, σ = 0.015 mm

P =

3.置信区间中等

基于 64 个观测值且 σ 已知的均值 95% 置信区间，其误差范围为 8.8。基于 256 个观测值的 99% 区间，其误差范围 E₂ 是多少？

95%n₁ = 64E₁ = 8.899%n₂ = 256

E₂ =

4.置信区间困难

10 根机加工轴的直径样本标准差为 8.8 µm。假设直径服从正态分布，求总体标准差 95% 置信区间的上限 σ。df = 9 时，χ² 分布有 2.5% 位于 2.7 以下，2.5% 位于 19.023 以上。

n = 10s = 8.8 µmχ² = 2.7, 19.023

σ = µm

5.假设检验与置信区间中等

两条生产线生产同一种零件。生产线 1：80 个零件的样本平均长度为 129 mm，该生产线的已知标准差为 10 mm。生产线 2：30 个零件的样本均值为 136 mm，已知标准差为 14 mm。取差值为 x̄₁ − x̄₂（生产线 1 减生产线 2），求 H₀: μ₁ = μ₂ 的检验统计量 z。

n₁ = 80x̄₁ = 129 mmσ₁ = 10 mmn₂ = 30x̄₂ = 136 mmσ₂ = 14 mm

z =

6.假设检验与置信区间困难

在一项试验中，接受治疗 A 的 250 名患者中有 163 人康复，接受治疗 B 的 150 名患者中有 110 人康复。用合并比例求 H₀: p₁ = p₂ 的检验统计量 z。

x₁ = 163n₁ = 250x₂ = 110n₂ = 150

z =

7.线性回归与相关中等

表中给出 6 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。求最小二乘直线的决定系数 r²。

n = 6

r² =

8.线性回归与相关困难

表中给出 6 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 x 取何值 x 时，直线预测 ŷ = 26？

n = 6ŷ = 26

x =

9.卡方检验中等

列联表给出了观测频数。为进行卡方独立性检验，求单元格“农村，低”的期望频数 E。

行合计 = 85列合计 = 54N = 154

E =

10.卡方检验困难

一个卡方拟合优度检验将 9 个类别的观测频数与完全给定的期望比例进行比较（没有由数据估计的参数）。该检验的自由度 df 是多少？

k = 9

df =

3溶液

1.正态分布

答案: P = 0.8304

正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。

z 分数

z₁ = (240 − 250)/5 = −2

z₂ = (255.25 − 250)/5 = 1.05

中间面积

P = Φ(1.05) − Φ(−2) = 0.8531 − 0.02275 = 0.8304

答案

P = 0.8304

2.正态分布

答案: P = 0.9909

正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²，所以 σ = √(σ_X² + σ_Y²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。

差的分布

μ = 25.05 − 25 = 0.05 mm, σ = 0.02121 mm

标准化

z = (0 − 0.05)/0.02121 = −2.36

概率

P = 1 − Φ(−2.36) = 0.9909

答案

P = 0.9909

3.置信区间

答案: E₂ = 5.783

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

误差范围之比

E₂/E₁ = (2.576/1.96)·√(64/256) = 0.6571

新的误差范围

E₂ = 8.8·0.6571 = 5.783

答案

E₂ = 5.783

4.置信区间

答案: σ = 16.07 µm

方差的区间：(n − 1)s²/σ² 服从自由度为 n − 1 的 χ² 分布。σ² 的 95% 区间从 (n − 1)s² 除以上侧 χ² 值（其上方占 2.5%）到 (n − 1)s² 除以下侧 χ² 值（其下方占 2.5%）；σ 的区间是这两个限值的平方根。它关于 s 不对称。

平方和

(n − 1)s² = 9·8.8² = 697

σ² 的限值

697/19.023 = 36.64

697/2.7 = 258.1

σ 的限值

σ = √258.1 = 16.07 µm

答案

σ = 16.07 µm

σ 的 95% 区间：[6.053, 16.07] µm。

5.假设检验与置信区间

答案: z = −2.509

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

差值的标准误

SE = √(10²/80 + 14²/30) = √7.783 = 2.79

检验统计量

z = (129 − 136)/2.79 = −2.509

答案

z = −2.509

|z| > 1.96，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。

6.假设检验与置信区间

答案: z = −1.692

样本比例

p̂₁ = 163/250 = 0.652

p̂₂ = 110/150 = 0.7333

p̂ = 273/400 = 0.6825

H₀ 下的标准误

SE = √(0.6825·0.3175·(1/250 + 1/150)) = 0.04808

检验统计量

z = (0.652 − 0.7333)/0.04808 = −1.692

答案

z = −1.692

|z| < 1.96，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。

7.线性回归与相关

答案: r² = 0.961

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

均值

x̄ = 126/6 = 21

ȳ = 633/6 = 105.5

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 389

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 2250

决定系数

r² = 389²/(70·2250) = 0.961

答案

r² = 0.961

y 的变异中约有 96.1% 可由该直线解释。

8.线性回归与相关

答案: x = 10.93

均值

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 99/6 = 16.5

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 169

回归直线

b = 169/70 = 2.414

a = 16.5 − 2.414·7 = −0.4

ŷ = −0.4 + 2.414·x

解出 x

x = (26 − (−0.4))/2.414 = 10.93

答案

x = 10.93

9.卡方检验

答案: E = 29.81

卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。

期望频数

E = 85·54/154 = 29.81

答案

E = 29.81

10.卡方检验

答案: df = 8

自由度

df = 9 − 1 = 8

答案

df = 8

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