正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
统计学（二）：统计推断：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
卡方检验
- 检验统计量
- χ² = Σ(O − E)²/E
- 拟合优度
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- 独立性
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- 临界值（α = 0.05）
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- 决策
- 若 χ² > χ²crit，则拒绝 H0
2练习题
1.正态分布中等
X 服从均值 120 mm、标准差 0.3 mm 的正态分布；Y 独立，服从均值 80 mm、标准差 0.4 mm 的正态分布。求 X + Y 大于 199.6 mm 的概率 P。z 取两位小数。
μX = 120, σX = 0.3μY = 80, σY = 0.4X + Y > 199.6 mm
P =
2.正态分布困难
智商分数 服从正态分布，均值为 100 分，标准差为 15 分。拖动截断值，使阴影的后 75% 位于其左侧。求截断值 x。
μ = 100 分σ = 15 分75%
x = 分
3.置信区间中等
测量 9 名患者治疗前后的血压。差值 d = 治疗前 − 治疗后 (mmHg) 的均值为 1.2，标准差为 4.8。 求平均差值的 95% 置信区间的下限。
n = 9d̄ = 1.2sd = 4.895%t(8) = 2.306
下限 = mmHg
4.置信区间困难
15 根机加工轴的直径样本标准差为 10.6 µm。假设直径服从正态分布，求总体标准差 95% 置信区间的上限 σ。df = 14 时，χ² 分布有 2.5% 位于 5.629 以下，2.5% 位于 26.119 以上。
n = 15s = 10.6 µmχ² = 5.629, 26.119
σ = µm
5.假设检验与置信区间中等
25 名学生的样本平均分为 47.12，样本标准差为 8。求 H₀: μ = 50 的检验统计量 t。
μ₀ = 50x̄ = 47.12s = 8n = 25
t =
6.假设检验与置信区间困难
在 α = 0.01 下，用容量为 100 的样本对 H₀: μ = 500 与 H₁: μ > 500 进行单侧 z 检验；已知标准差为 25。实际上均值为 507.5。 求该检验的功效 1 − β，以百分比表示。
μ₀ = 500μ = 507.5σ = 25n = 100α = 0.01
1 − β = %
7.线性回归与相关中等
表中给出 5 对观测值 x = 学习小时数 和 y = 考试成绩。 已给出它们的各项和。由这些和求皮尔逊相关系数 r。
n = 5Σx = 25Σy = 319Σx² = 135Σy² = 20653Σxy = 1647
r =
8.线性回归与相关困难
表中给出 5 对观测值 x = 学习小时数 和 y = 考试成绩。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 新得到一个观测值 (2, 68)。求其残差 e = y − ŷ。
n = 5(2, 68)
e =
9.卡方检验中等
列联表给出了观测频数。为进行卡方独立性检验，求单元格“农村，低”的期望频数 E。
行合计 = 36列合计 = 57N = 129
E =
10.卡方检验困难
对一个 3 行 3 列（不含合计）的列联表进行卡方独立性检验。 该检验的自由度 df 是多少？
3 × 3
df =
3溶液
1.正态分布
答案: P = 0.7881
正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μX ± μY。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σX² + σY²，所以 σ = √(σX² + σY²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。
和的分布
μ = 200 mm, σ = √(0.3² + 0.4²) = 0.5 mm
标准化
z = (199.6 − 200)/0.5 = −0.8
上尾
P = 1 − Φ(−0.8) = 1 − 0.2119 = 0.7881
答案
P = 0.7881
2.正态分布
答案: x = 110.1 分
由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。
左侧的面积
Φ(z) = 0.75
由表得到的 z
z ≈ 0.67
回到原来的单位
x = 100 + 0.67·15 = 110.1 分
答案
x = 110.1 分
3.置信区间
答案: 下限 = −2.49 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
临界值
df = 8, t = 2.306
误差范围
E = 2.306·4.8/√9 = 3.69
区间
1.2 ± 3.69 → [−2.49, 4.89]
答案
下限 = −2.49 mmHg
4.置信区间
答案: σ = 16.72 µm
方差的区间：(n − 1)s²/σ² 服从自由度为 n − 1 的 χ² 分布。σ² 的 95% 区间从 (n − 1)s² 除以上侧 χ² 值（其上方占 2.5%）到 (n − 1)s² 除以下侧 χ² 值（其下方占 2.5%）；σ 的区间是这两个限值的平方根。它关于 s 不对称。
平方和
(n − 1)s² = 14·10.6² = 1573
σ² 的限值
1573/26.119 = 60.23
1573/5.629 = 279.5
σ 的限值
σ = √279.5 = 16.72 µm
答案
σ = 16.72 µm
σ 的 95% 区间：[7.761, 16.72] µm。
5.假设检验与置信区间
答案: t = −1.8
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
标准误
SE = 8/√25 = 8/5 = 1.6
检验统计量
t = (47.12 − 50)/1.6 = −1.8
答案
t = −1.8
t0.025; df = 24 = 2.064
|t| < 2.064，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。
6.假设检验与置信区间
答案: 1 − β = 74.98 %
检验功效：功效 = 1 − β，是 H₀ 为假时拒绝 H₀ 的概率。由 μ₀ 和 z_α 求出临界值 x̄c，再用真实均值计算落在 x̄c 以外的概率：z = (x̄c − μ)/(σ/√n)。
临界样本均值
SE = 25/√100 = 2.5
x̄c = 500 + 2.326·2.5 = 505.8
真实均值下的 z
z = (505.8 − 507.5)/2.5 = −0.674
功率
功效 = P(Z > −0.674) = 74.98%
1 − β = 74.98%
答案
1 − β = 74.98%
7.线性回归与相关
答案: r = 0.9481
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
中心化后的和
Sxy = 1647 − 25·319/5 = 52
Sxx = 135 − 25²/5 = 10
Syy = 20653 − 319²/5 = 300.8
相关系数
r = 52/√(10·300.8) = 0.9481
答案
r = 0.9481
8.线性回归与相关
答案: e = 3.45
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 25/5 = 5
ȳ = 421/5 = 84.2
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 262
回归直线
b = 262/40 = 6.55
a = 84.2 − 6.55·5 = 51.45
ŷ = 51.45 + 6.55·x
预测值
ŷ = 51.45 + 6.55·2 = 64.55
残差
e = 68 − 64.55 = 3.45
答案
e = 3.45
该点位于直线上方。
9.卡方检验
答案: E = 15.91
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
E = 36·57/129 = 15.91
答案
E = 15.91
10.卡方检验
答案: df = 4
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
自由度
df = (3 − 1)·(3 − 1) = 4
答案
df = 4
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