正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
统计学（二）：统计推断：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
卡方检验
- 检验统计量
- χ² = Σ(O − E)²/E
- 拟合优度
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- 独立性
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- 临界值（α = 0.05）
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- 决策
- 若 χ² > χ²crit，则拒绝 H0
2练习题
1.正态分布中等
考试成绩服从正态分布，均值为 65 分，标准差为 10 分。介于 45.5 和 75.5 分 之间的比例是多少？P 以小数表示。
μ = 65σ = 10x1 = 45.5x2 = 75.5
P =
2.正态分布困难
考试成绩 服从正态分布，均值为 65 分，标准差为 10 分。拖动截断值，使阴影的前 95% 位于其右侧。求截断值 x。
μ = 65 分σ = 10 分95%
x = 分
3.置信区间中等
测量 9 名患者治疗前后的血压。差值 d = 治疗前 − 治疗后 (mmHg) 的均值为 −8.5，标准差为 7.2。 求平均差值的 95% 置信区间的误差范围 E。
n = 9d̄ = −8.5sd = 7.295%t(8) = 2.306
E = mmHg
4.置信区间困难
事先对缺陷产品的比例一无所知。 必须检验多少件产品 n，才能使比例的 95% 置信区间的误差范围不超过 0.025？
p = 0.5E = 0.02595%
n =
5.假设检验与置信区间中等
两条生产线生产同一种零件。生产线 1：60 个零件的样本平均长度为 116 mm，该生产线的已知标准差为 18 mm。生产线 2：80 个零件的样本均值为 118.8 mm，已知标准差为 3 mm。取差值为 x̄₁ − x̄₂（生产线 1 减生产线 2），求 H₀: μ₁ = μ₂ 的检验统计量 z。
n₁ = 60x̄₁ = 116 mmσ₁ = 18 mmn₂ = 80x̄₂ = 118.8 mmσ₂ = 3 mm
z =
6.假设检验与置信区间困难
在 α = 0.01 下，用容量为 100 的样本对 H₀: μ = 500 与 H₁: μ < 500 进行单侧 z 检验；已知标准差为 15。实际上均值为 495.2。 求第二类错误的概率 β，以百分比表示。
μ₀ = 500μ = 495.2σ = 15n = 100α = 0.01
β = %
7.线性回归与相关中等
表中给出 5 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。 求最小二乘直线的决定系数 r²。
n = 5
r² =
8.线性回归与相关困难
表中给出 6 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 新得到一个观测值 (21, 84)。求其残差 e = y − ŷ。
n = 6(21, 84)
e =
9.卡方检验中等
列联表给出了观测频数。计算行变量与列变量独立性检验的卡方统计量 χ²。不使用连续性校正。
N = 1802 × 2
χ² =
10.卡方检验困难
对一个 3 行 4 列（不含合计）的列联表进行卡方独立性检验。 该检验的自由度 df 是多少？
3 × 4
df =
3溶液
1.正态分布
答案: P = 0.8276
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
z 分数
z₁ = (45.5 − 65)/10 = −1.95
z₂ = (75.5 − 65)/10 = 1.05
中间面积
P = Φ(1.05) − Φ(−1.95) = 0.8531 − 0.02559 = 0.8276
答案
P = 0.8276
2.正态分布
答案: x = 48.6 分
由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。
左侧的面积
Φ(z) = 0.05
由表得到的 z
z ≈ −1.64
回到原来的单位
x = 65 − 1.64·10 = 48.6 分
答案
x = 48.6 分
3.置信区间
答案: E = 5.534 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
临界值
df = 8, t = 2.306
误差范围
E = 2.306·7.2/√9 = 5.534
答案
E = 5.534 mmHg
4.置信区间
答案: n = 1537
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.
解出 n
n = 1.96²·0.5·0.5/0.025² = 1537
向上取整
n = 1537
答案
n = 1537
5.假设检验与置信区间
答案: z = −1.193
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
差值的标准误
SE = √(18²/60 + 3²/80) = √5.513 = 2.348
检验统计量
z = (116 − 118.8)/2.348 = −1.193
答案
z = −1.193
|z| < 1.96，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。
6.假设检验与置信区间
答案: β = 19.11 %
检验功效：功效 = 1 − β，是 H₀ 为假时拒绝 H₀ 的概率。由 μ₀ 和 z_α 求出临界值 x̄c，再用真实均值计算落在 x̄c 以外的概率：z = (x̄c − μ)/(σ/√n)。
临界样本均值
SE = 15/√100 = 1.5
x̄c = 500 − 2.326·1.5 = 496.5
真实均值下的 z
z = (496.5 − 495.2)/1.5 = 0.874
第二类错误
功效 = P(Z < 0.874) = 80.89%
β = 100% − 80.89% = 19.11%
答案
β = 19.11%
7.线性回归与相关
答案: r² = 0.9871
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 120/5 = 24
ȳ = 363/5 = 72.6
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 90
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 396
Syy = Σ(y − ȳ)² = 1765
决定系数
r² = 396²/(90·1765) = 0.9871
答案
r² = 0.9871
y 的变异中约有 98.71% 可由该直线解释。
8.线性回归与相关
答案: e = 2.067
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 138/6 = 23
ȳ = 554/6 = 92.33
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 364
回归直线
b = 364/70 = 5.2
a = 92.33 − 5.2·23 = −27.27
ŷ = −27.27 + 5.2·x
预测值
ŷ = −27.27 + 5.2·21 = 81.93
残差
e = 84 − 81.93 = 2.067
答案
e = 2.067
该点位于直线上方。
9.卡方检验
答案: χ² = 3.56
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
吸烟者: 80·63/180 = 28, 80·117/180 = 52
不吸烟者: 100·63/180 = 35, 100·117/180 = 65
卡方统计量
χ² = (22 − 28)²/28 + (58 − 52)²/52 + (41 − 35)²/35 + (59 − 65)²/65
χ² = 3.56
答案
χ² = 3.56
df = 1。在 α = 0.05 时临界值为 3.841，所以 H₀（独立）不被拒绝。
10.卡方检验
答案: df = 6
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
自由度
df = (3 − 1)·(4 − 1) = 6
答案
df = 6
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