统计学（二）：统计推断：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

置信区间

σ 已知: x̄ ± z·σ/√n
σ 未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量: n = (z·σ/E)², rounded up

方法

在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
求该置信水平下的临界值。
误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
均值的 t 检验: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧: 若 |z| > 1.96 则拒绝 H₀
置信区间: x̄ ± z·σ/√n

方法

写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
与临界值比较，或求出 p 值。
若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

线性回归与相关

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
斜率: b = S_xy/S_xx
截距: a = ȳ − b·x̄
相关系数: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

卡方检验

检验统计量: χ² = Σ(O − E)²/E
拟合优度: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
独立性: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
临界值（α = 0.05）: df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
决策: 若 χ² > χ²_crit，则拒绝 H₀

2练习题

1.正态分布中等

智商分数服从正态分布，均值为 100 分，标准差为 15 分。介于 85 和 103.75 分之间的比例是多少？P 以小数表示。

μ = 100σ = 15x₁ = 85x₂ = 103.75

P =

2.正态分布困难

成年男性的身高服从正态分布，均值为 178 cm，标准差为 7 cm。拖动截断值，使阴影的前 75% 位于其右侧。求截断值 x。

μ = 178 cmσ = 7 cm75%

x = cm

3.置信区间中等

测量 11 名患者治疗前后的血压。差值 d = 治疗前 − 治疗后 (mmHg) 的均值为 7，标准差为 3.5。求平均差值的 90% 置信区间的下限。

n = 11d̄ = 7s_d = 3.590%t(10) = 1.812

下限 = mmHg

4.置信区间困难

对两种肥料进行试验。地块组 1：12 块地，平均产量 40 kg，标准差 6 kg。地块组 2：9 块地，均值 31.5 kg，标准差 9 kg。假设方差相等（合并 t，df = n₁ + n₂ − 2）。求 μ₁ − μ₂ 的 90% 置信区间的误差范围 E。

n₁ = 12x̄₁ = 40s₁ = 6n₂ = 9x̄₂ = 31.5s₂ = 990%t(19) = 1.729

E = kg

5.假设检验与置信区间中等

两条生产线生产同一种零件。生产线 1：50 个零件的样本平均长度为 83.5 mm，该生产线的已知标准差为 14 mm。生产线 2：50 个零件的样本均值为 79.6 mm，已知标准差为 12 mm。取差值为 x̄₁ − x̄₂（生产线 1 减生产线 2），求 H₀: μ₁ = μ₂ 的检验统计量 z。

n₁ = 50x̄₁ = 83.5 mmσ₁ = 14 mmn₂ = 50x̄₂ = 79.6 mmσ₂ = 12 mm

z =

6.假设检验与置信区间困难

在 α = 0.01 下，用容量为 100 的样本对 H₀: μ = 200 与 H₁: μ > 200 进行单侧 z 检验；已知标准差为 5。实际上均值为 201.05。求该检验的功效 1 − β，以百分比表示。

μ₀ = 200μ = 201.05σ = 5n = 100α = 0.01

1 − β = %

7.线性回归与相关中等

表中给出 6 对观测值 x = 广告支出 (k€) 和 y = 销售额 (k€)。已给出它们的各项和。由这些和求皮尔逊相关系数 r。

n = 6Σx = 48Σy = 398Σx² = 454Σy² = 27408Σxy = 3446

r =

8.线性回归与相关困难

表中给出 5 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 x 取何值 x 时，直线预测 ŷ = 26？

n = 5ŷ = 26

x =

9.卡方检验中等

列联表给出了观测频数。计算行变量与列变量独立性检验的卡方统计量 χ²。不使用连续性校正。

N = 1402 × 2

χ² =

10.卡方检验困难

表中给出了观测频数。在 α = 0.05 下检验两个变量是否独立（不使用连续性校正）。计算检验统计量 χ²，再与表中的临界值比较。

N = 2603 × 2α = 0.05

χ² =

3溶液

1.正态分布

答案: P = 0.4401

正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。

z 分数

z₁ = (85 − 100)/15 = −1

z₂ = (103.75 − 100)/15 = 0.25

中间面积

P = Φ(0.25) − Φ(−1) = 0.5987 − 0.1587 = 0.4401

答案

P = 0.4401

2.正态分布

答案: x = 173.3 cm

由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。

左侧的面积

Φ(z) = 0.25

由表得到的 z

z ≈ −0.67

回到原来的单位

x = 178 − 0.67·7 = 173.3 cm

答案

x = 173.3 cm

3.置信区间

答案: 下限 = 5.088 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

临界值

df = 10, t = 1.812

误差范围

E = 1.812·3.5/√11 = 1.912

区间

7 ± 1.912 → [5.088, 8.912]

答案

下限 = 5.088 mmHg

4.置信区间

答案: E = 5.652 kg

合并标准差

s_p² = (11·6² + 8·9²)/19 = 54.95

s_p = 7.413

误差范围

E = 1.729·7.413·√(1/12 + 1/9) = 5.652

答案

E = 5.652 kg

5.假设检验与置信区间

答案: z = 1.496

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

差值的标准误

SE = √(14²/50 + 12²/50) = √6.8 = 2.608

检验统计量

z = (83.5 − 79.6)/2.608 = 1.496

答案

z = 1.496

|z| < 1.96，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。

6.假设检验与置信区间

答案: 1 − β = 41.06 %

检验功效：功效 = 1 − β，是 H₀ 为假时拒绝 H₀ 的概率。由 μ₀ 和 z_α 求出临界值 x̄c，再用真实均值计算落在 x̄c 以外的概率：z = (x̄c − μ)/(σ/√n)。

临界样本均值

SE = 5/√100 = 0.5

x̄_c = 200 + 2.326·0.5 = 201.2

真实均值下的 z

z = (201.2 − 201.05)/0.5 = 0.226

功率

功效 = P(Z > 0.226) = 41.06%

1 − β = 41.06%

答案

1 − β = 41.06%

7.线性回归与相关

答案: r = 0.9867

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

中心化后的和

S_xy = 3446 − 48·398/6 = 262

S_xx = 454 − 48²/6 = 70

S_yy = 27408 − 398²/6 = 1007

答案

r = 0.9867

8.线性回归与相关

答案: x = 9.034

均值

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 86/5 = 17.2

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 116

回归直线

b = 116/40 = 2.9

a = 17.2 − 2.9·6 = −0.2

ŷ = −0.2 + 2.9·x

解出 x

x = (26 − (−0.2))/2.9 = 9.034

答案

x = 9.034

9.卡方检验

答案: χ² = 6.929

卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。

期望频数

男性: 100·63/140 = 45, 100·77/140 = 55

女性: 40·63/140 = 18, 40·77/140 = 22

卡方统计量

χ² = (52 − 45)²/45 + (48 − 55)²/55 + (11 − 18)²/18 + (29 − 22)²/22

χ² = 6.929

答案

χ² = 6.929

df = 1。在 α = 0.05 时临界值为 3.841，所以 H₀（独立）被拒绝。

10.卡方检验

答案: χ² = 34.31

期望频数

生产线 1: 80, 20

生产线 2: 64, 16

生产线 3: 64, 16

卡方统计量

χ² = (98 − 80)²/80 + (2 − 20)²/20 + (52 − 64)²/64 + (28 − 16)²/16 + (58 − 64)²/64 + (22 − 16)²/16

χ² = 34.31

决策

df = 2, χ²_crit = 5.991

34.31 > 5.991

答案

χ² = 34.31

χ² 高于临界值，所以拒绝 H₀：两个变量看起来是相关的。

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