正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
统计学（二）：统计推断：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
卡方检验
- 检验统计量
- χ² = Σ(O − E)²/E
- 拟合优度
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- 独立性
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- 临界值（α = 0.05）
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- 决策
- 若 χ² > χ²crit，则拒绝 H0
2练习题
1.正态分布中等
智商分数服从正态分布，均值为 100 分，标准差为 15 分。介于 92.5 和 122.5 分 之间的比例是多少？P 以小数表示。
μ = 100σ = 15x1 = 92.5x2 = 122.5
P =
2.正态分布困难
成年男性的身高 服从正态分布，均值为 178 cm，标准差为 7 cm。拖动截断值，使阴影的后 70% 位于其左侧。求截断值 x。
μ = 178 cmσ = 7 cm70%
x = cm
3.置信区间中等
一个包含 20 个个体的样本，均值为 71.5，标准差 s = 10。总体近似服从正态分布。 求均值的 99% 置信区间的误差范围 E。
n = 20x̄ = 71.5s = 1099%t(19) = 2.861
E =
4.置信区间困难
总体标准差为 7。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 95% 置信区间的误差范围不超过 1？
σ = 7E = 195%
n =
5.假设检验与置信区间中等
两条生产线生产同一种零件。生产线 1：40 个零件的样本平均长度为 79 mm，该生产线的已知标准差为 3 mm。生产线 2：60 个零件的样本均值为 81 mm，已知标准差为 7 mm。取差值为 x̄₁ − x̄₂（生产线 1 减生产线 2），求 H₀: μ₁ = μ₂ 的检验统计量 z。
n₁ = 40x̄₁ = 79 mmσ₁ = 3 mmn₂ = 60x̄₂ = 81 mmσ₂ = 7 mm
z =
6.假设检验与置信区间困难
在一项试验中，接受治疗 A 的 100 名患者中有 35 人康复，接受治疗 B 的 120 名患者中有 50 人康复。用合并比例求 H₀: p₁ = p₂ 的检验统计量 z。
x₁ = 35n₁ = 100x₂ = 50n₂ = 120
z =
7.线性回归与相关中等
表中给出 6 对观测值 x = 广告支出 (k€) 和 y = 销售额 (k€)。 求最小二乘直线的决定系数 r²。
n = 6
r² =
8.线性回归与相关困难
表中给出 5 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 预测 x = 19.5 时的 ŷ。
n = 5x = 19.5
ŷ =
9.卡方检验中等
列联表给出了观测频数。计算行变量与列变量独立性检验的卡方统计量 χ²。不使用连续性校正。
N = 1802 × 2
χ² =
10.卡方检验困难
表中给出了观测频数。在 α = 0.05 下检验两个变量是否独立（不使用连续性校正）。计算检验统计量 χ²，再与表中的临界值比较。
N = 2203 × 2α = 0.05
χ² =
3溶液
1.正态分布
答案: P = 0.6247
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
z 分数
z₁ = (92.5 − 100)/15 = −0.5
z₂ = (122.5 − 100)/15 = 1.5
中间面积
P = Φ(1.5) − Φ(−0.5) = 0.9332 − 0.3085 = 0.6247
答案
P = 0.6247
2.正态分布
答案: x = 181.6 cm
由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。
左侧的面积
Φ(z) = 0.7
由表得到的 z
z ≈ 0.52
回到原来的单位
x = 178 + 0.52·7 = 181.6 cm
答案
x = 181.6 cm
3.置信区间
答案: E = 6.397
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
临界值
df = n − 1 = 19, t = 2.861
误差范围
E = 2.861·10/√20 = 6.397
答案
E = 6.397
4.置信区间
答案: n = 189
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
解出 n
n = (1.96·7/1)² = 188.2
向上取整
样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。
n = 189
答案
n = 189
5.假设检验与置信区间
答案: z = −1.96
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
差值的标准误
SE = √(3²/40 + 7²/60) = √1.042 = 1.021
检验统计量
z = (79 − 81)/1.021 = −1.96
答案
z = −1.96
|z| < 1.96，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。
6.假设检验与置信区间
答案: z = −1.011
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
样本比例
p̂₁ = 35/100 = 0.35
p̂₂ = 50/120 = 0.4167
p̂ = 85/220 = 0.3864
H₀ 下的标准误
SE = √(0.3864·0.6136·(1/100 + 1/120)) = 0.06593
检验统计量
z = (0.35 − 0.4167)/0.06593 = −1.011
答案
z = −1.011
|z| < 1.96，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。
7.线性回归与相关
答案: r² = 0.7168
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 33/6 = 5.5
ȳ = 288/6 = 48
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 41
Syy = Σ(y − ȳ)² = 134
决定系数
r² = 41²/(17.5·134) = 0.7168
答案
r² = 0.7168
y 的变异中约有 71.68% 可由该直线解释。
8.线性回归与相关
答案: ŷ = 70.4
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 120/5 = 24
ȳ = 463/5 = 92.6
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 90
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 444
回归直线
b = 444/90 = 4.933
a = 92.6 − 4.933·24 = −25.8
ŷ = −25.8 + 4.933·x
预测
ŷ = −25.8 + 4.933·19.5 = 70.4
答案
ŷ = 70.4
9.卡方检验
答案: χ² = 15.36
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
吸烟者: 80·81/180 = 36, 80·99/180 = 44
不吸烟者: 100·81/180 = 45, 100·99/180 = 55
卡方统计量
χ² = (49 − 36)²/36 + (31 − 44)²/44 + (32 − 45)²/45 + (68 − 55)²/55
χ² = 15.36
答案
χ² = 15.36
df = 1。在 α = 0.05 时临界值为 3.841，所以 H₀（独立）被拒绝。
10.卡方检验
答案: χ² = 39.09
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
工厂 A: 60, 20
工厂 B: 45, 15
工厂 C: 60, 20
卡方统计量
χ² = (41 − 60)²/60 + (39 − 20)²/20 + (56 − 45)²/45 + (4 − 15)²/15 + (68 − 60)²/60 + (12 − 20)²/20
χ² = 39.09
决策
df = 2, χ²crit = 5.991
39.09 > 5.991
答案
χ² = 39.09
χ² 高于临界值，所以拒绝 H₀：两个变量看起来是相关的。
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